Đáp án:

 Tự vẽ hình ^^

Giải thích các bước giải:

a) Chứng minh được: Δ ABC = Δ ABE (c.g.c)
Suy ra  ∠CAB = ∠EAB 
Vậy AB là tia phân giác của ∠ CAE  
b) Chứng minh được:
  Δ AHM = Δ AHN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AM = AN. Do đó Δ AMN cân tại A.
Mà AB là phân giác  ∠EAC nên AB `⊥` MN  .
Khi đó MN // CE (cùng vuông góc với AB)
c) Do Δ AHM = Δ AHN nên HN = HM.
Mặt khác, trong tam giác vuông CNH có HC > HN.
Do đó HC > HM.
d) CMN cân tại N thì ∠NCM = ∠NMC  
Mà MN // CE nên ∠NMC = ∠MCE  (so le trong)
Suy ra ∠NCM = ∠MCE 
Chứng minh được Δ CME = ΔCMA(g.c.g) . Suy ra CE = CA.
Như vậy CA = CE = AE nên Δ ACE là tam giác đều.
 => ∠ BCA  = `60^0` .
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện ∠BCA = 60^0  thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
Khi Δ ABC có `∠ BCA = 60^0` thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
 
Khi ABC có `∠ BCA  = 60^0` thì ΔCMN có vừa là đường cao, vừa là phân giác ∠ECA  nên
`∠HCN = ∠CMN = 30^0`  .  Suy ra ΔCMN cân tại N.

Xét tam giác EBA và tam giác CBA, có:
EB=CB (do B là trung điểm của CE)
EBA=CBA(=90)
AB: chung
Do đó tam giác EBA và tam giác CBA (c.g.c)
=> EAB=CAB (hai góc tương ứng)
Mà EAB+CAB=CAE
=> AB là tia phân giác của CAE.
b)Gọi I là điểm giao nhau giữa MN và AB.
Xét tam giác HNA và tam giác HMA, có:
HNA=HMA (=90 độ)
AH: chung
CAB=EAB(cm ở câu a)
Do đó tam giác HNA và tam giác HMA (ch-gn)
=> AN=AM (hai cạnh tương ứng)
=> tam giác MAN cân tại A.
Mặt khác ta lại có: MAI=NAI (do AB là tia phân giác của góc CAE)
=> AI là đường trung trực của tam giác cân MAN.
Ta có: EC vuông góc AB (gt)
MN vuông góc với AB (cmt)
Do đó suy ra MN//CE.
c) Vì tam giác HNC vuông tại N nên HN (cạnh góc vuông ) bé hơn HC (cạnh huyền)
Mà HN=HM (do tam giác HNA=tam giác HMA)
=>HC > HM
d) bó tay.