a) Xét tg ABC có AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = BC^2 => ABC vuông ở A (định lí Pytago)
Ta có: Diện tích ABC = 1/2 AB.AC = 1/2 AH.BC => AB.AC = AH.BC => 15.20 = 25AH
=> AH = 300/25 = 12 (cm)

b) Xét tg AHC và tg BAC có: Góc C chung và AHC = BAC = 90 độ (gt) 
=> AHC đồng dạng BAC (g.g) => CH / AC = AC / BC => AC^2 = CH.BC. 

c) Do AD là đường phân giác của tg ABC => AD / AB = DC / BC 
=> AD / 15 = DC / 25 = AD + DC / 15 + 25 = AC / 40 = 20/40 = 1/2. 
=> AD = 15 . 1/2 = 7,5 (cm) ; DC = 25 . 1/2 = 12,5 (cm) 

d) Gọi Q là giao của MN và AC. 
Xét tg ABH có M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH => MN là đường trung bình => MN // AB. 
Mà AB vuông góc AC (tg ABC vuông ở A) => MN vuông góc AC => MQ vuông góc AC.
Vì N thuộc MQ (cách vẽ), N thuộc AH (gt) => MQ cắt AH ở N. 
Xét tg MAC có MQ vuông góc AC, AH vuông góc MC (gt), hai đoạn cắt nhau ở N => N là trực tâm => CN vuông góc AM. 

Đáp án:

Giải thích các bước giải: