Đáp án:Cho hàm số: $y=x^3+ax^2+bx+c (c<0)$ có đồ thị $(C)$ biết :
$(C)$ cắt $Oy$ tại $A$ và có đúng $2$ điểm chung với $Ox$ là $M, N$. Tiếp tuyến tại $M$ đi qua $A$.
Tìm $a,b,c$ để diện tích tam giác $AMN$ bằng $1$.
Bài làm:
Đây là một bài toán khó, hay nữa.
Giả sử (C) cắt Ox tại M(m; 0) và N(n, 0), cắt Oy tại A(0; c)
Tiếp tuyến tại A có phương trình:
$$y=(3m^2+2am+b) (x-m).$$
Tiếp tuyến đi qua A nên $$3m^3+2am^2+bm+c=0.$$
Mà theo bài M thuộc (C):
$$m^3+am^2+bm+c=0.$$
Do đó ta có $$2m^3+am^2=0.$$
$$\Leftrightarrow m=-\dfrac{a}{2}.$$
Mà (C) cắt Ox tại 2 điểm nên (C) tiếp xúc với Ox tại N nên:
$$y=x^3+ax^2+bx+c=(x-n)^2 (x-m).$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
m+2n=-a & \\
2mn+n^2=b & \\
mn^2=c &
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow m=-\dfrac{a}{2}; n=-\dfrac{a}{4}; a^3=32c; 5a^2=16b.$$
Mặt khác $$S_{AMN}=1 \Leftrightarrow -c|m-n|=2 \Leftrightarrow -c.|a|=8.$$
a> 0, ta có hệ $$\left\{\begin{matrix}
a^3=32c & \\
ac=-8 & \\
5a^2=16b &
\end{matrix}\right.$$
Hệ vô nghiệm.


a<0,ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}
a^3=32c & \\
ac=8 & \\
5a^2=16b &
\end{matrix}\right.$
Hệ có nghiệm a=-4; b=5; c=-2

Giải thích các bước giải: