Bài 1:

a) Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA (=$90^{o}$ )

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

⇒$\frac{AH}{HC}$= $\frac{HB}{AH}$ ⇔$AH^{2}$ =HB·HC

b) Có : HB+HC=BC ⇒ BC= 25 cm

Lại có:  $AB^{2}$ =HB·BC⇒ $AB^{2}$ =9. 25=225 ⇒AB= 15 cm

Áp dụng định lí Pitago vào ΔABC có ∠A==$90^{o}$

          $AB^{2}$ +$AC^{2}$= $BC^{2}$ 

⇔$AC^{2}$= $BC^{2}$- $AB^{2}$= $25^{2}$ -$15^{2}$ =400 ⇔ AC=20 cm

Bài 2:

a) Xét ΔHBA và ΔHAC có:

   ∠BHA=∠AHC =$90^{o}$

   ∠HBA=∠HAC (cùng phụ ∠C)

⇒ ΔHBA~ΔHAC (g-g)

b) Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC

⇒ $BC^{2}$ =$AB^{2}$ +$AC^{2}$ = $12^{2}$+ $16^{2}$= 400 ⇒BC=20 cm

Ta có: $S_{ABC}$= AB.AC- $\frac{1}{2}$AH. BC 

                           =12.16 = $\frac{1}{2}$.AH.20

⇒AH= 19,2 cm

 Vì ΔABC ~ ΔHBA(cmt)

⇒ $\frac{AB}{AC}$ =$\frac{BH}{AH}$ 

⇒ $\frac{12}{16}$ =$\frac{BH}{19,2}$ 

⇒BH= 14,4 cm

c) Xét ΔAEF và ΔHAB có:

∠FAE=∠AHB (=$90^{o}$ ) (1)

Xét tứ giác AEHF có ∠A=∠F=∠E=$90^{o}$

⇒ AFHE là hcn

Gọi AH∩FE={O}

⇒OE=OA⇒ ΔOEA cân tại O

⇒∠OEA=∠OAE (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAEF~ΔHAB (g-g) (3)

Xét ΔHAB và ΔACB có:

∠ABC chung

∠AHB=∠CAB=$90^{o}$

⇒ΔHAB~ΔACB (g-g) (4) 

Từ (3) và (4) ⇒ ΔAFE~ΔABC (t/c bắc cầu)

⇒$\frac{AE}{AF}$= $\frac{AC}{AB}$ ⇒ AE.AB=AF.AC

Bài 3:

a) Ta có:  $AB^{2}$ $+AC^{2}$ $=12^{2}$ $+16^{2}$ $=400^{}$ 

               $BC^{2}$ $=20^{2}$= $400^{}$ 

⇒$AB^{2}$ $+AC^{2}$=  $BC^{2}$ 

⇒ ΔABC vuông tại A (định lí pitago đảo)

Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA (=$90^{o}$ )

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

b) ⇒$\frac{AC}{BC}$ =$\frac{AH}{AB}$ 

⇒$\frac{16}{20}$ =$\frac{AH}{12}$ 

⇒AH= 9,6 (cm)

Vì ΔABC ~ ΔHBA (cmt)

⇒$\frac{AB}{BC}$ =$\frac{BH}{AB}$ ⇒$AB^{2}$ $= BC.BH^{}$

⇒$12^{2}$ $=20.BH^{}$ ⇒ BH= 7,2 (cm)

c) Vì M là trung điểm của BC ⇒ BM=10cm

Ta có: HM= BM-BH= 10-7,2= 2,8 (cm)

⇒$S_{AHM}$ $=^{}$ $\frac{1}{2}$ $AH.HM^{}$ $=^{}$ $\frac{1}{2}$ $9,6·2,8^{}$ = $=13,44 cm^{2}$ 

Bài 4:

a) Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA (=$90^{o}$ )

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

b) Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC

⇒ $BC^{2}$ =$AB^{2}$ +$AC^{2}$ = $15^{2}$+ $20^{2}$= 625 ⇒BC=25 (cm)

Vì ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

⇒ $\frac{AC}{BC}$ =$\frac{AH}{AB}$ 

⇒$\frac{20}{25}$ =$\frac{AH}{15}$ 

⇒AH= 12 (cm)

Vì ΔABC ~ ΔHBA (cmt)

⇒$\frac{AB}{BC}$ =$\frac{BH}{AB}$ ⇒$AB^{2}$ $= BC.BH^{}$

⇒$15^{2}$ $=25.BH^{}$ ⇒ BH= 9 (cm)

@thuyylinhh20042007