Đáp án + giải thích các bước giải:

`P=|a-2b|+|b-2c|+|c-2a|`

$\bullet$ Giá trị lớn nhất:

Xét `a-2b>=0`,`b-2c>=0`,`c-2a<0`, ta có:

`P=3a-b-3c<=\sqrt{[3^2+(-1)^2+(-3)^2][a^2+b^2+c^2]}=\sqrt{19.21}=\sqrt{399}`

`->P<=\sqrt{399}`

Tương tự với các trường hợp khác

Chung quy lại, `P<=\sqrt{399}`, dấu bằng xảy ra khi `(a;b;c)=(-3\sqrt{21/19};\sqrt{21/19};3\sqrt{21/19})` và các hoán vị

$\bullet$ Giá trị nhỏ nhất:

`P^2=(a-2b)^2+(b-2c)^2+(c-2a)^2+2[|(a-2b)(b-2c)|+|(b-2c)(c-2a)|+|(c-2a)(a-2b)|]`

`>=5(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca)+2|(a-2b)(b-2c)+(b-2c)(c-2a)+(c-2a)(a-2b)|`

`=105-4(ab+bc+ca)+2|-2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)|`

`=105-4(ab+bc+ca)+2|42-3(ab+bc+ca)|`

Xét `42-3(ab+bc+ca)>=0->ab+bc+ca<=14`

`->P>=105-4(ab+bc+ca)+2[42-3(ab+bc+ca)]`

`=189-10(ab+bc+ca)`

`>=189-10.14`

`=49`

`->P>=7`

Xét `42-3(ab+bc+ca)<0->ab+bc+ca>14`

`->P>=105-4(ab+bc+ca)+2[3(ab+bc+ca)-42]`

`=21+2(ab+bc+ca)`
`>21+2.14`

`=49`

`->P>7`

Vậy `P>=7`, dấu bằng xảy ra khi

$\begin{cases} a^2+b^2+c^2=21\\ab+bc+ca=14\\ |(a-2b)(b-2c)|+|(b-2c)(c-2a)|+|(c-2a)(a-2b)|=|(a-2b)(b-2c)+(b-2c)(c-2a)+(c-2a)(a-2b)|\end{cases}$

`-> (a;b;c)=(4;2;1)` và các hoán vị hoặc `(a;b;c)=(-4;-2;-1)` và các hoán vị 

$\\$

$\\$

$\\$

Phần max thủ công rồi, còn phần min xuất phát từ việc `a,b,c` không đối xứng, nên đánh giá giữa các hệ thức như phần ý tưởng của bạn là hơi khó, nên phải dùng đánh giá của `ab+bc+ca` luôn. Bài này mình nghĩ ra được từ đề thi cấp cụm HK-HBT 2014-2015 ở Hà Nội. Tìm giá trị nhỏ nhất của `|x|+|y|+|z|` biết `x+y+z=0` và `x^2+y^2+z^2=8`, vì đề bài gợi ý rõ ràng ta có thể tính được `xy+yz+zx` nên mình nghĩ ra bài trên