Giải thích các bước giải:

a.Ta có : $AD,BK$ là đường cao $\Delta ABC$

$\to AD\perp BC , BK\perp AC\to \widehat{BDH}=\widehat{HKC}=90^o$ 

$\to HDCK$ nội tiếp

b.Ta có :

$HKDC$ nội tiếp

$\to \widehat{BHD}=\widehat{BCK}=\widehat{BCA}=\widehat{BNA}=\widehat{BNH}$

$\to \Delta BHN$ cân tại B

Mà $BD\perp HN\to DH=DN\to D$ là trung điểm HN

Ta có : $BC\perp HN=D, D$ là trung điểm HN

$\to BC$ là trung trực của HN

c.Ta có : $\widehat{HKC}=90^o$
$\to HKCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$

Gọi I là trung điểm HC$\to (I,IK)$  là đường tròn ngoại tiếp $HKCD$

$\to (I,IK)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta CKD$

Do H là trực tâm $\Delta ABC\to CH\perp AB\to \widehat{HCK}=\widehat{ABK}(+\widehat{BAC}=90^o)$

Mà $\widehat{AKB}=\widehat{HKC}=90^o$

$\to \Delta AKB\sim\Delta HKC(g.g)$

Vì M là trung điểm AB, I là trung điểm HC

$\to \Delta MKB\sim\Delta IKC$

$\to \widehat{MKB}=\widehat{IKC}$

$\to \widehat{MKB}+\widehat{BKI}=\widehat{IKC}+\widehat{BKI}$

$\to \widehat{MKI}=\widehat{HKC}$

$\to \widehat{MKI}=90^o$

$\to MK\perp KI$

$\to MK$ là tiếp tuyến của (I,KI)

$\to MK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDK$

d.Ta có :

$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to \widehat{BHD}=\widehat{ACD}$ do $HKCD$ nội tiếp

$\to \Delta BDH\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to DH.DA=BD.DC\le \dfrac14(BD+DC)^2=\dfrac14BC^2$

Dấu = xảy ra khi $BD=DC\to D$ là  trung điểm BC

$\to A$ nằm chính giữa cung BC lớn