Câu trả lời không

Giả thiết cho $0<a,b,c<12$, $a+b+c=12$ và $a\ne b\ne c$

Ta thấy $a,b,c$ giữ vai trò như nhau

Không mất tính tổng  quát, giả sử  $a>b>c$

Khi đó $\begin{cases}a+b+c<a+a+a\\a+b+c>c+c+c\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a>4\\c<4\end{cases}$

Với $\begin{cases}a>4\\a>b\end{cases}$

Thì ${{a}^{2}}-4b>0$

Từ đó dẫn tới phương trình ${{x}^{2}}+ax+b=0$ có nghiệm

Với $\begin{cases}c<4\\c<a\end{cases}$

Thì ${{c}^{2}}-4a<0$

Từ đó dẫn tới phương trình ${{x}^{2}}+cx+a=0$

Từ đó nhận xét là nếu $a>b>c$ thì:

+ PT ${{x}^{2}}+ax+b=0$ có nghiệm

+ PT ${{x}^{2}}+bx+c=0$ chưa xác định được gì

+ PT ${{x}^{2}}+cx+a=0$ vô nghiệm

Nếu ta giả sử $b>c>a$ thì

+ PT ${{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm

+ PT ${{x}^{2}}+ax+b=0$ vô nghiệm

+ Pt ${{x}^{2}}+cx+a=0$ chưa xác định được gì

Nên câu trả lời cho câu hỏi trên là chưa chắc là hai phương trình ${{x}^{2}}+ax+b=0$ và ${{x}^{2}}+cx+a=0$

Ta có:

\(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=a^2-4b+b^2-4c+c^2-4a=a^2+b^2+c^2-48\)

Dễ thấy:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=48\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3\ge0\)

Khi đó có ít nhất một phương trình có nghiệm