a)

Ta có $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{BOC}=2.60{}^\circ =120{}^\circ $

Kẻ $OH\bot BC$$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$

Vì $\Delta BOC$ cân tại $O$

Nên $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{180-\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{180{}^\circ -120{}^\circ }{2}=30{}^\circ $

Ta có $\Delta BHO$ vuông tại $H$

Nên $\cos \widehat{OBC}=\frac{BH}{OB}$

$\Rightarrow BH=OB.\cos 30{}^\circ =\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BC=2BH=R\sqrt{3}$

b)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MCA$, ta có:

+ $\widehat{AMB}$ là góc chung

+ $\widehat{MAB}=\widehat{MCA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

$\Rightarrow \Delta MAB\backsim\Delta MCA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow M{{A}^{2}}=MB.MC$

c)

Ta có:

+ $\widehat{MAD}=\widehat{MAB}+\widehat{DAB}$

+ $\widehat{MDA}=\widehat{MCA}+\widehat{DAC}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Mà: $\begin{cases}\widehat{MAB}=\widehat{MCA}\\\widehat{DAB}=\widehat{DAC}\end{cases}$

Nên: $\widehat{MAD}=\widehat{MDA}$

Do đó $\Delta MAD$ cân tại $M$

Vậy $MA=MD$