$a)$ Xét tam giác $ADC:$

$4DI^2=2\left ( DA^2+DC^2 \right )-AC^2.\\$

Xét tam giác $ABC:$

$4BI^2=2\left ( BA^2+BC^2 \right )-AC^2$

$\Rightarrow 4DI^2+4BI^2=2\left ( DA^2+DC^2 \right )+2\left ( BA^2+BC^2 \right )-2AC^2\\
\Leftrightarrow 2\left ( DI^2+BI^2 \right )=DA^2+DC^2+BA^2+BC^2-AC^2\\$

Xét tam giác $IBD:$

$4IJ^2=2\left ( DI^2+BI^2 \right )-BD^2$

$=DA^2+DC^2+BA^2+BC^2-AC^2-BD^2\\
\Leftrightarrow AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4IJ^2\\$

$b)$ Trường hợp $ABCD$ là hình bình hành thì $I\equiv J$ hay $IJ=0$, nên từ câu $a)$ ta thu được:

$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2\\$

$c)$ Giả sử $ABCD$ là hình thang cân với đáy nhỏ $AB=a$, đáy lớn $DC=b$, cạnh bên $AD=BC=c$. Khi đó hai đường chéo là $AC$ và $BD$ và $AC=BD=d$

Áp dụng câu $a)$ ta được:

$a^2+c^2+b^2+c^2=d^2+d^2+4IJ^2$

$\Leftrightarrow  2d^2=a^2+b^2+2c^2-4IJ^2\\$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, dùng tính chất đường trung bình trong tam giác thì ta có:

$DC=2JM=2\left ( IJ+IM \right )$

$AB=2IM$

Do đó $2IJ=DC-AB=b-a \Rightarrow 4IJ^2=\left ( b-a \right )^2$

Do đó $2d^2=a^2+b^2+2c^2-\left ( b-a \right )^2=2c^2+2ab$

Hay $d^2=c^2+ab$