Đáp án:

$a)  BC=\sqrt{170}\\
b) AB: 9x+2y-13=0\\
c) 
(x-2)^2+(y+\frac{5}{2})^2=85\\
d)  (C):(x-1)^2+(y-2)^2=\frac{16}{25}\\
e) (C'):(x-1)^2+(y-1)^2=1\\
(C'):(x-5)^2+(y-5)^2=25$

Giải thích các bước giải:

$a) \overrightarrow{BC}=(1;13)\\
\Rightarrow BC=\sqrt{1^2+13^2}=\sqrt{170}\\
b) \overrightarrow{u_{AB}}=(2;-9)\\
\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(9;2)$
Phương trình đường thẳng AB đi qua $A(1;2)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AB}}=(9;2)$ làm vecto pháp tuyến
$9(x-1)+2(y-2)=0\\
\Leftrightarrow 9x-9+2y-4=0\\
\Leftrightarrow 9x+2y-13=0\\
c) AB=\sqrt{2^2+(-9)^2}=\sqrt{85}$
Gọi I là trung điểm của AB nên $I(2;\frac{-5}{2})$
Phương trình đường tròn có tâm I bán kính là $R=AB=\sqrt{85}$
$(x-2)^2+(y+\frac{5}{2})^2=85$
d) $R=d(A,d)=\frac{|3.1-4.2+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{4}{5}$
Phương trình đường tròn có dạng $(C):(x-1)^2+(y-2)^2=\frac{16}{25}$
e) Gọi đường tròn cần tìm là (C') có tâm $I(a ; b)$ và bán kính bằng R.
(C') tiếp xúc với $Ox \Rightarrow  R = d(I ; Ox) = |b|$
(C') tiếp xúc với $Oy \Rightarrow R = d(I ; Oy) = |a|$
$\Rightarrow |a|=|b|\Rightarrow {\left\{\begin{aligned}a=b\\ a=-b\end{aligned}\right.}$
TH1: Xét $a=b$ thì $I(a;b),R=|a|$
Ta có $A\in(C')\Rightarrow IA=R\Rightarrow IA^2=R^2$
$(1-a)^2+(2-a)^2=a^2\\
\Leftrightarrow 1-2a+a^2+4-4a+a^2=a^2\\
\Leftrightarrow a^2-6a+5=0\\
\Leftrightarrow {\left[\begin{aligned}a=5\\ a=1\end{aligned}\right.}\\
+) a=1\Rightarrow I(1;1),R=1$
Phương trình đường tròn $(C'):(x-1)^2+(y-1)^2=1$
+) $a=5\Rightarrow I(5;5),R=5$
Phương trình đường tròn $(C'):(x-5)^2+(y-5)^2=25$
TH2: Xét $a=-b$ thì $I(a;-a),R=|a|$
Ta có $A\in(C')\Rightarrow IA=R\Rightarrow IA^2=R^2$
$(1-a)^2+(2+a)^2=a^2\\
\Leftrightarrow 1-2a+a^2+4+4a+a^2=a^2\\
\Leftrightarrow a^2+2a+5=0(VN)$