Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\\
A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\
B{C^2} = {15^2} = 225\\
 \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}
\end{array}$

=> Tam giác ABC vuông tại A (theo Pytago đảo)

b)

Theo t/c đường phân giác:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AD}}{9} = \dfrac{{DC}}{{15}} = \dfrac{{AD + DC}}{{9 + 15}} = \dfrac{{AC}}{{24}} = \dfrac{{12}}{{24}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = 4,5\left( {cm} \right)\\
DC = 7,5\left( {cm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

c)

Xét : ΔABI và ΔDBH có:

+ góc ABI = góc DBH 

+ góc AIB = góc DHB

=> ΔABI ~ ΔDBH (g-g)

=> AB/BI = BD/BH

d)

Ta có góc IDA + góc ABD = 90 độ

+ góc IAD + góc HBD = 90 độ

Mà góc ABD = góc HBD

=> góc IAD = góc IDA

=> ΔIAD cân tại I

e)

Ta có: góc IKA = góc IAK

Mà góc IAK = góc KAC

=> góc IKA = góc KAC

=> IK//AC (do có 2 góc so le trong bằng nhau)