Đáp án:

 \(\frac{45}{4}\)

Giải thích các bước giải:

+ Do $ AB\bot CH $ nên AB: $ x+y+1=0 $ .

Giải hệ: $ \left\{ \begin{matrix} 2x+y+5=0 \\ x+y+1=0 \\ \end{matrix} \right. $ ta có $ \left( x;y \right)=\left( -4;3 \right) $

Do đó: $ AB\cap BN=B(-4;3) $ .

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì $ A'\in BC $ .

Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): $ x-2y-5=0 $ .

Gọi $ I=(d)\cap BN $ . Giải hệ: $ \left\{ \begin{matrix} 2x+y+5=0 \\ x-2y-5=0 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow I\left( -1;3 \right) $ $ \Rightarrow A'(-3;-4) $

+ Phương trình BC: $ 7x+y+25=0 $ .

Giải hệ: $ \left\{ \begin{matrix} 7x+y+25=0 \\ x-y+1=0 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow $ $ C\left( -\dfrac{13}{4};-\dfrac{9}{4} \right) $ .

+ $ BC=\sqrt{{{\left( -4+\dfrac{13}{4} \right)}^{2}}+{{\left( 3+\dfrac{9}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{450}}{4} $ , $ d(A;BC)=\dfrac{\left| 7.1+1(-2)+25 \right|}{\sqrt{{{7}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\sqrt{2} $ .

$ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A;BC \right).BC=\dfrac{1}{2}.3\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{450}}{4}=\dfrac{45}{4}. $