Bạn tự vẽ hình nhé!!!

a) Xét tứ giác AMHN có 

góc MAN = góc AMH = góc ANH = 90 độ

=> AMHN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

=> AH∩MN tại trung điểm mỗi đường và AH = MN (tính chất hình chữ nhật) 

=> 1/2 AH = 1/2 MN

gọi I là giao của HA và MN

=> tam giác IAM cân tại I

=> góc IAM = góc IMA (t/c tam giác cân)   (1)

Vì AMHN là hình chữ nhật 

=> AM // HN

=> góc MAI = góc INH (so le trong)            (2)

mà góc IHN + góc HAC = 90 độ

     góc HAC + góc ACH = 90 độ

=> góc IHN = góc ACH                               (3)

Từ (1), (2), (3)

=> góc IMA = góc ACH

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có

góc IMA = góc ACH

góc MAC = 90 độ

=> tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (gg)

b) Vì tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (cmt)

=> góc ANM = góc ABC (2 góc tương ứng)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là trung tuyến

=> AO = OC = OB = 1/2 BC  (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Vì OA = OC (cmt)

=> tam giác  AOC cân tại O

=> góc OAC = góc OCA (t/c tam giác cân)

Ta có:

góc ABC + góc ACB = 90 độ

góc ANM = góc ABC (cmt)

góc OAC = góc OCA (cmt)

=> góc ANM + góc CAO = 90 độ

=> AO ⊥ MN