Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) $∠AMB = ∠ACM$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $=$ góc nội tiếp chắn dây cung đó) $⇒ΔABM ≈ ΔAMC (g.g)$ (vì chung $∠A$)

$⇒ \frac{AM}{AB} = \frac{AM}{AB} ⇒ AM² = AB.AC$ 

2) $∠AMO = ∠ANO = ∠AHO = 90^{0} ⇒ A; M; N; O; H $ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$

3) Theo câu $2) A; M; N; O; H $ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$

$ ⇒ ∠BHN = ∠AHN = ∠AMN = ∠BEN$ (đồng vị)

$ ⇒BEHN$ nội tiếp

$ ⇒ ∠BHE = ∠BNE = ∠BNM = ∠BCM ⇒ EH//MC$

4) Gọi $G$ là trọng tâm $ΔMBC$ mà $MH$ là trung tuyến $⇒ G∈MH; \frac{GM}{MH} = \frac{2}{3}$ 

Gọi $P∈MN; \frac{MP}{MN} = \frac{2}{3} ⇒ P$ cố định và $GP//HN (1)$

Gọi $Q∈MA; \frac{MQ}{MA} = \frac{2}{3} ⇒ Q$ cố định và $PQ//AN (2)$

Từ $(1); (2) ⇒ ∠MGN + ∠MQN = ∠MHN + ∠MAN = 180^{0}$ ( vì theo câu $2) MHNA$ nội tiếp $⇒ MGPQ$ nội tiếp $⇒ G$ chạy trên cung nhỏ $MP$ của đường tròn ngoại tiếp $ΔMPQ$ cố định xác định như trên