`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

        `BC²=AB²+AC²`(định lý Py-ta-go)

     `⇒BC=\sqrt{AB²+AC²}`

     `⇒BC=\sqrt{21²+28²}`

     `⇒BC=\sqrt{1225}`

     `⇒BC=35(cm)`

Vì `AD` là đường phân giác trong của `ΔABC` tại đỉnh `A` nên ta có:

                                    `(DB)/(DC)=(AB)/(AC)`(tính chất đường phân giác của `Δ)`

                                  `⇒(DB)/(DB+DC)=(AB)/(AB+AC)`

                                  `⇒(DB)/(BC)=(AB)/(AB+AC)`

                                  `⇒(DB)/35=21/(21+28)`

                                  `⇒DB=(35.21)/(21+28)`

                                  `⇒DB=735/49`

                                  `⇒DB=15(cm)`

Ta có:`BC=DB+DC`

`⇒DC=BC-DB=35-15=20(cm)`

Vậy `DB=15cm` và `DC=20cm`

`b)`

Ta có:`DE⊥AC(g``t)`

Mà `BA⊥AC(ΔABC` vuông tại `A)`

`⇒DE////BA`(từ `⊥` đến `////)`

Vì `DE////BA`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                            `(DE)/(AB)=(DC)/(BC)`

                         `⇒(DE)/21=20/35`

                         `⇒DE=(21.20)/35`

                         `⇒DE=420/35`

                         `⇒DE=12(cm)`

Xét `ΔCDE` vuông tại `E` có:

        `CD²=DE²+EC²`(định lý Py-ta-go)

     `⇒EC²=CD²-DE²`

     `⇒EC=\sqrt{CD²-DE²}`

     `⇒EC=\sqrt{20²-12²}`

     `⇒EC=\sqrt{256}`

     `⇒EC=16(cm)`

Vậy `DE=12cm` và `EC=16cm`

`c)`

Vì `DE////BA(cmt)`

`⇒hat{CDE}=hat{CBA}(2` góc đồng vị)

Xét `ΔABC` và `ΔEDC` có:

       `hat{CBA}=hat{CDE}(cmt)`

           `hat{C}:chung`

`⇒ΔABC`$\backsim$`ΔEDC(g.g)(đpcm)`

`⇒k=(AB)/(ED)=21/12=7/4`

Vậy tỉ số đồng dạng `k=7/4`

`d)`

Gọi `F` là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh `B` xuống cạnh `AC(F∈AC)`

       `H` là chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh `B` xuống cạnh `AC(H∈AC)`

       `K` là chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh `A` xuống cạnh `BC(K∈BC)`

Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`⇒(BG)/(GH)=2/1=2(1)`

Vì `BF` là đường phân giác trong của `ΔABC` tại đỉnh `B` nên ta có:

                                    `(AF)/(FC)=(AB)/(BC)`(tính chất đường phân giác của `Δ)`

                                  `⇒(AF)/(AF+FC)=(AB)/(AB+BC)`

                                  `⇒(AF)/(AC)=(AB)/(AB+BC)`

                                  `⇒(AF)/28=21/(21+35)`

                                  `⇒AF=(28.21)/(21+35)`

                                  `⇒AF=588/56`

                                  `⇒AF=10,5(cm)`

Vì `AI` là đường phân giác trong của `ΔABF` tại đỉnh `A` nên ta có:

                                    `(BI)/(IF)=(AB)/(AF)`(tính chất đường phân giác của `Δ)`

                                  `⇒(BI)/(IF)=21/(10,5)`

                                  `⇒(BI)/(IF)=2(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒(BG)/(GH)=(BI)/(IF)(=2)`

Xét `ΔBFH` có:

`(BG)/(GH)=(BI)/(IF)(cmt)`

`⇒IG////FH`(theo định lý Ta-lét đảo)

Hay `IG////AC(đpcm)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:     

a/

Vì `AD` là tia phân giác của `\triangle ABC` nên

`-> (DB)/(AB) = (DC)/(AC)` ( T/c)

`-> (DB)/(21) = (DC)/(28)`

Nhân cả `2` vế với `7` ta được :

`-> (DB)/3 = (DC)/4`

Đặt `(DB)/3 = (DC)/4= k ( k \ne 0 )`

`-> DB = 3k` và `DC =4k`

`-> DB + DC = 3k+4k = BC`

`-> 7k= BC`

Vì `\triangle ABC` vuông tại `A` nên :

`-> AB^2+ AC^2 = BC^2` ( Py-ta-go)

`-> BC = \sqrt{AB^2+ AC^2} = \sqrt{21^2+ 28^2} =35`   
Do `BC =35 -> k = 5 -> DB = 3k = 3 . 5 =15cm` và `DC = 4k = 4 . 5 = 20 cm`

b/      

Ta có :

`DE \bot AC` và `AB \bot AC` nên $AB \parallel DE$

Suy ra : 

`-> (AB)/(DE) = (BC)/(DC) =35/20 = 7/4` ( Hệ quả Talet ) 

`->  21/(DE) =7/4`

`-> DE = 21 : 7/4 = 12cm`
Xét `\triangle DEC` vuông tại `E` có :

`DE^2+EC^2 = DC^2` ( Py-ta-go) 

`-> 12^2+ EC^2 =20^2`

`-> EC = \sqrt{20^2-12^2} =16cm`

c/

Xét `\triangle ABC` có : $AB \parallel DE$ và `D \in BC ; E \in AC`

$\Rightarrow \triangle ABC \backsim EDC$ ( Định lý )

`-> (AB)/(DE) = (CA)/(CE) =(BC)/(DC) =35/20 = 7/4`
Vậy tỉ số đồng dạng là `7/4`  

d/     

Kẻ `BV` là tia phân giác xuất phát từ `B` của `\triangle ABC`  

Kẻ hai đường trung tuyến `AM` và `BK` ( Trong đó `M \in BC` và `K \in AC` )

Xét `\triangle ABK`

`(AV)/(AB) = (CV)/(BC) -> (AV)/(CV) = (AB)/(BC) = 21/35 =3/5` ( Tính chất tia phân giác )

`-> (AV)/(AC - AV) = 3/5`

`-> (AV)/(28 - AV) =3/5` 

`-> 5AV = 84-3AV` 

`-> 5AV+3AV = 84`

`-> 8AV =84 -> AV = 10,5 cm`

Xét `\triangle ABV` có : 

`(IV)/(AV) = (IB)/(AB) -> (IV)/(IB) = (AV)/(AB) = (10,5)/(21) = 0,5 \quad (1)` ( Tính chất tia phân giác )

Xét `\triangle ABC` có `I` là trong tâm của `\triangle ABC` nên :

`(GE)/(GB) =1/2 = 0,5 \quad (2)`

Từ `(1) ; (2) -> (IV)/(IB) = (GE)/(GB) ` nên $IG \parallel AC$ ( Talet đảo )