Đáp án:

Phương trình đường tròn có dạng $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ 

Giải thích các bước giải:

$\overrightarrow{AB}=(-5;-10)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(10;-5)=5(2;-1)\\
\overrightarrow{BC}=(8;4)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(4;-8)=4(1;-2)\\
\overrightarrow{AC}=(3;-6)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(6;3)=3(2;1)$
Phương trình cạnh AB: $2(x-2)-(y-6)=0\\
\Leftrightarrow 2x-4-y+6=0\\
\Leftrightarrow 2x-y+2=0$
Phương trình cạnh BC: $1(x+3)-2(y+4)=0\\
\Leftrightarrow x+3-2y-8=0\\
\Leftrightarrow x-2y-5=0$
Phương trình cạnh AC: $2(x-2)+1(y-6)=0\\
\Leftrightarrow 2x-4+y-6=0\\
\Leftrightarrow 2x+y-10=0$
Phương trình đường phân giác góc A: $4x-8=0$
Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
${\left\{\begin{aligned}4x-8=0\\x-2y-5=0\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}x=2\\ y=\frac{-3}{2}\end{aligned}\right.}\Rightarrow D(2;\frac{-3}{2})$
Gọi $I(a,b)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: $\overrightarrow{IA}=(2-a;6-b)\\
\overrightarrow{ID}=\left ( 2-a;\frac{-3}{2}-b \right )\\
BA=5\sqrt{5}\\
\overrightarrow{BD}=(5;\frac{5}{2})\Rightarrow BD=\frac{5\sqrt{5}}{2}$
Ta có: $\overrightarrow{ID}=-\frac{BD}{BA}\overrightarrow{IA}\\
\Leftrightarrow \left ( 2-a;\frac{-3}{2}-b \right )=-\frac{\frac{5\sqrt{5}}{2}}{5\sqrt{5}}.(2-a;6-b)\\
\Leftrightarrow \left ( 2-a;\frac{-3}{2}-b \right )=-\frac{1}{2}.(2-a;6-b)\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}2-a=-\frac{1}{2}(2-a)\\ \frac{-3}{2}-b=\frac{-1}{2}(6-b)\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}4-2a=-2+a\\ 3+2b=6-b\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}-2a-a=-2-4\\ 2b+b=6-3\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}-3a=-6\\ 3b=3\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}a=2\\ b=1\end{aligned}\right.}$
Vậy tâm $I(2;1)$ và bán kính $R=d(I,AB)=\frac{|2.2-1+2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$
Phương trình đường tròn có dạng $(x-2)^2+(y-1)^2=5$