Đáp án:

 a. Xét ∆AHM và ∆CDM 

 + AM = DM

 + GÓC HMK = CMD ( Đối đỉnh )

 + HM = CM

=> ∆AHM = ∆CDM (c.g.c)

 b. ∆ABC vuông tại A có góc B = 60°

 => Góc C = 30°

 ∆AHM = ∆ CDM => góc A = góc C

Mà góc A = 90° => góc C = 90°

 ( Cộng góc ) => góc ACD = 120°

c. Gọi I là giao điểm của HK và AB

Xét ∆AKI và ∆AHI

 + KI = HI

 + Góc KIA = góc HIA

 + Canh AI chung

=> ∆AKI = ∆AHI (c.g.c)

=> AK = AH

 Và AH = CD ( ∆AHM = ∆DCM )

=> AK = CD

 d. Vì KH vuông góc với AB

    và AC vuông góc với AB 

 => Kh // AC

 ∆AHC vuông tại H có góc C = 30°

=> Góc HAC = 60°

 Mà góc ACD = 120°

=> AH // CD

Mà AH = CD 

 => Tứ giác AHDC là hình bình hành

=> HD // AC

Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có thể vẽ duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó => KH trùng HD

 => K, H, D thẳng hàng

a) Xét ∆AHM và ∆DCM, có:

+) HM = MC (M là trung điểm của HC)

+) MD = MA (gt)

+) $\widehat{AMH}$ = $\widehat{CMD}$ (Cặp góc đối đỉnh)

=> ∆AHM = ∆DCM (c.g.c)

b) Ta có: ∆AHM = ∆DCM (cmt)

=> $\widehat{AHM}$ =$\widehat{DCM}$  = 90⁰

* ∆ABC vuông tại A có:

$\widehat{ABC}$ +$\widehat{ACB}$  = 90⁰

60⁰ + $\widehat{ACB}$ = 90⁰

$\widehat{ACB}$ = 90⁰ - 60⁰

$\widehat{ACB}$ = 30⁰

$\widehat{ACD}$ = $\widehat{ACB}$ + $\widehat{DCM}$ = 30⁰ + 90⁰ = 120⁰

c) Gọi Q là điểm giao nhau của HK và AB:

Xét ∆AKQ và ∆AHQ, có:

+) KQ = QH (Q là trung điểm của KH)

+) $\widehat{KQA}$ = $\widehat{HQA}$

+) AQ : cạnh chung

=> ∆AKQ = ∆AHQ (c.g.c)

=> AK = AH

=> AH = CD (∆AHM = ∆DCM)

Vậy : AK = CD

d) Ta có: KH vuông góc với AB và AC vuông góc với AB, nên:

 => KH // AC

* ∆AHC vuông tại H và có $\widehat{C}$ = 30°

=> $\widehat{HAC}$ = 60°

Vì : $\widehat{ACD}$ = 120°

Nên : AH // CD

Vì : AH = CD 

Nên : Hình tứ giác AHDC là một hình bình hành.

=> HD // AC

* Ta chỉ có thể vẽ duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó, nên KH trùng với HD

Vậy : K, H, D là 3 điểm thẳng hàng.

${\color{red}{\text{@Qunhu}}}$