Giải thích các bước giải:

a.Vì BA,BC là tiếp tuyến của (O)
$\to BA\perp OA, BC\perp OC$ 

$\to \widehat{BAO}+\widehat{BCO}=90^o+90^o=180^o$

$\to AOCB$ nội tiếp

Mà $\widehat{OAB}=90^o\to BO$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp $AOCB$

Vì I là tâm đường tròn$\to I$ là trung điểm OB

Ta có : $OB^2=OA^2+AB^2=2R\to IO=IB=\dfrac12OB=R$

$\to R_I=R$

b.Ta có : $IA=IC=IO=IB=R\to I\in (O)$

$\to IO=IC=IA=AO=OC\to \Delta AOI, \Delta COI$ đều

$\to \widehat{AOC}=\widehat{AOI}+\widehat{IOC}=120^o$

$\to S_{quạt\quad AOC}=\dfrac{120^o}{360^o}\pi.R^2=\dfrac13\pi R^2$

c.Ta có : $MD\perp AC, ME\perp AB,MF\perp BC$

$\to \widehat{MEA}+\widehat{MDA}=90^o+90^o=180^o\to MDAE$ nội tiếp

Tương tự $\to MDCF$ nội tiếp

$\to \widehat{MED}=\widehat{MAD}=\widehat{MAC}=\widehat{MCB}(\text{FC là tiếp tuyến })=\widehat{MDF}$

Tương tự $\to \widehat{MDE}=\widehat{MFD}$

$\to \Delta MED\sim\Delta MDF(g.g)$

$\to \dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MD}{MF}$

$\to ME.MF=MD^2$

d.Ta có :

$\widehat{QDP}=180^o-\widehat{ADE}-\widehat{FDC}$

$\to \widehat{QDP}=180^o-\widehat{AME}-\widehat{FMC}$

$\to \widehat{QDP}=(90^o-\widehat{AME})+(90^o-\widehat{FMC})$

$\to \widehat{QDP}=\widehat{MAE}+\widehat{MCF}$

$\to \widehat{QDP}=\dfrac12\widehat{AOM}+\dfrac12\widehat{MOC}$

$\to \widehat{QDP}=\dfrac12\widehat{AOC}$

$\to \widehat{QDP}=\widehat{AGC}, G\in$ cung lớn AC

$\to \widehat{QDP}=180^o-\widehat{AMC}$
$\to \widehat{QDP}+\widehat{AMC}=180^o$

$\to MPDQ$ nội tiếp
$\to \widehat{PQM}=\widehat{MDP}=\widehat{MDE}=\widehat{MAE}=\widehat{MCA}$

$\to PQ//AC$