Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Keo dễ sợ luôn :D

$\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)\left(4+\dfrac{1}{4}\right) \geq \left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)^2$

$⇒\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)$

Tương tự: 

$\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a+c}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2b+\dfrac{1}{2\sqrt{a+c}}\right)$

$\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2c+\dfrac{1}{2\sqrt{a+b}}\right)$

Cộng vế:

$A \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2(a+b+c)+\dfrac{1}{2\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{2\sqrt{c+a}} \right)$

$A \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2(a+b+c)+\dfrac{9}{2(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})} \right)$

Lại có:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{3(a+b+b+c+c+a)}=\sqrt{6(a+b+c)}$

$⇒A \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2(a+b+c)+\dfrac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}} \right)$

Chắc dude muốn hỏi chỗ này: bây giờ không thay số trực tiếp được (do mẫu bị ngược dấu) nên phải tách để AM-GM, thía thì tách thía nào? Tách thế này: thằng $\sqrt{a+b+c}$ bậc bằng 1 nửa thằng $a+b+c$ nên phải có 2 thằng $\sqrt{a+b+c}$ mới khử hết được thằng $a+b+c$. Do đó phải tách đôi thằng $\dfrac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}}=\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}+\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}$

Ghép nó với thằng $a+b+c$, nhưng lại ghép sao nữa? AM-GM $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ chỉ sử dụng được dấu "=" khi $a=b=c$, nên thằng $a+b+c$ phải có giá trị bằng $\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}$ khi $a+b+c=6$ là điểm rơi dự đoán.

Khi $a+b+c=6$ thì $\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}=\dfrac{9}{4\sqrt{6.6}}=\dfrac{3}{8}$.

Do đó phải đặt 1 số k đằng trước $a+b+c$ sao cho $k(a+b+c)=\dfrac{3}{8}⇔k.6=\dfrac{3}{8}$

$⇒k=\dfrac{1}{16}$

Hay $2(a+b+c)$ tách thành $\dfrac{31}{16}.(a+b+c)+\dfrac{a+b+c}{16}$

Xong bước tách hệ số, làm tiếp:

$A \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{16}.(a+b+c)+\dfrac{a+b+c}{16}+\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}+\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}} \right) $

$A \geq \dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{16}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{a+b+c}{16}·\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}·\dfrac{9}{4\sqrt{6(a+b+c)}}} \right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$