`a,`

Vì tam giác `ABC` vuông tại `A`

`->BC^2=AB^2+AC^2`(Pi-ta-go)

`->AC^2=25^2+15^2`

`->AC=\sqrt{400}=20(cm)`

`S_(ΔABC)=1/2 . 15 . 20=150cm^2`

`b,`

`HM bot AB0>\hat(HMA)=90^0`

`HN bot AC->\hat(HNA)=90^0`

Và tứ giá `AMHN` có `\hat(HMA)=\hat(HNA)=\hat(MAN)=90^0`

`->AMHN` là hình chữ nhật

`c,`

Vì `AMHN` là hình chữ nhật

`->AN////HM, AN=HM`

Mà `AN=AD` và `A, D, N` thẳng hàng

`->AD=MH, AD////HM`

Nên `ADMH` là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

`d,`

Xét `ΔHAB`cso:

`HE=EB`

`HI=IA`

`->IE` là đường trung bình

`->IE////AB`

Mà `AB bot AC`

`->IE bot AC`

Xét `ΔAEC` có:

`EI bot AC`

`AH bot AC`

`EI∩AH=I`

`->I` là trực tâm `ΔCAE`

`->CI bot AE(1)`

Xét `ΔBKH` có:

`BE=EH`

`AB=AK`

`->EA` là đường trung bình

`->EA////HM(2)`

Từ `(1)(2)->CI bot HK.`

d,

Gọi $V$ là giao của $IE, AC$

Dễ dàng chứng minh $EI$ là đường trung bình của $\triangle AHB$

$\to EI//AB$ ahy $EV//AB$ mà $AB\bot AC$

$\to EV\bot AC$

$\triangle AEC$ có : $AH, EV$ là đường cao, $I=EV∩AH$

$\to I$ là trực tâm

$\to CI$ là đường cao

$\to CI\bot AE$

Dễ dàng chứng minh $AE$ là đường trung bình của $\triangle BKH$

$\to AE//HK$ mà $CI\bot AE$

$\to HK\bot CI$