Không mất tính tổng quát, giả sử: $x \geqslant y \geqslant z$

$⇒ \begin{cases} x - y \geqslant 0 \\y - z \geqslant 0\\z - x \leqslant 0 \end{cases}$

Vì: `m` là số nhỏ nhất trong `3` số `(x - y)^2;\ (y - z)^2;\ (z - x)^2`

`⇒ \sqrt{m}` là số nhỏ nhất trong `3` số `x - y;\ y - z;\ z - x`

Ta có:

$\bullet\ x - y \geqslant \sqrt{m}$

$⇒ (x - y)^2 \geqslant (\sqrt{m})^2 = m$    (1)

$\bullet\ y - z \geqslant \sqrt{m}$

$⇒ (y - z)^2 \geqslant m$    (2)

$\bullet\ |z - x| = x - z = (x - y) + (y - z) \geqslant \sqrt{m} + \sqrt{m} = 2\sqrt{m}$

$⇒ (|z - x|)^2 \geqslant (2\sqrt{m})^2$

$⇔ (z - x)^2 \geqslant 4m$     (3)

Từ `(1),\ (2)` và `(3)`

$⇒ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \geqslant m + m + 4m = 6m$

$⇔ x^2 + y^2 - 2xy + y^2 + z^2 - 2yz + x^2 + z^2 - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ x^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz)  \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2 \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) \geqslant 6m + (x + y + z)^2 \geqslant 6m$

$⇔ m \leqslant \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$

Trong 3 số $(x-y)^2, (y-z)^2,(x-z)^2$ sẽ có ít nhất 2 số bằng nhau 

Không mất tính tổng quát giả sử $(x-y)^2 = (y-z)^2$

Do đó $m=0$

Khi $m=0$ thì bất đẳng thức cần chứng minh đúng.

Trong 3 số $(x-y)^2,(y-z)^2,(x-z)^2$ sẽ không có số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y\ge z$

$\to \sqrt{m}$ nhỏ nhất trong 3 số $|x-y|, |y-z|, |z-x|$

Xét $|x-y|$

Do $x\ge y\to x-y\ge 0$

$|x-y|=x-y = z-y + x-z=|y-z| + |z-x|$

Mà $|y-z|+|z-z|\ge \sqrt{m}+\sqrt{m}=2\sqrt{m}$

$\to |x-y|\ge 2\sqrt{m}\\\to (x-y)^2 \ge 4m\\\to (x-y)^2 +(y-z)^2 + (z-x)^2\ge 4m+m+m=6m$

Ta sẽ chứng minh $3(x^2+y^2+z^2)\ge (x-y)^2+(y-z)^2 + (z-x)^2$

Khá dễ dàng dùng biến đổi tương đương ta được :

$3x^2+3y^2+3z^2 - x^2+2xy-y^2 -y^2+2yz-z^2 - z^2+2xz -x^2\ge 0\\↔(x-y)^2 + (y-z)^2+(x-z)^2\ge 0\text{(Đúng)}$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x=y=z$

$\to 3 (x^2+y^2+z^2)\ge 6m\\\to m\le \dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{6}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}$