A)Xét đường tròn (O) đường kính AB có $\widehat{ANB}$

$\widehat{AMB}$=90$^0$$\widehat{ANB}$=$\widehat{AMB}$=90$^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow$ `AM` ⊥`MB`; `BN ⊥ AN` hay `AM` ⊥ `BC`; `BC` ⊥ `AC`

Xét $\Delta$`ABC` có 2 đường cao `AM`, `BN` cắt nhau tại `H`

$\Rightarrow$ H là trực tâm ΔABC

$\Rightarrow$ `CH` ⊥ `AB`. Mà `HK` ⊥ `AB` (gt)

`CH` ≡ `HK` hay `C`, `H`, `K` thẳng hàng

b) Gọi giao điểm của NK với đường tròn (O) là D

$\Delta$`CNM` ~ $\Delta$`ΔCBA` (c.g.c)

$\Rightarrow$$\widehat{CNM}$= $\widehat{ABC}$(2 góc tương ứng)

`ΔANK` ~ `ΔABC` (c.g.c)

$\widehat{ANK}$=$\widehat{ABC}$(2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

$\Rightarrow$$\widehat{CNM}$=$\widehat{ANK}$

$\Rightarrow$`90⁰`-$\widehat{CNM}$=`90`⁰-$\widehat{ANK}$

$\Rightarrow$$\widehat{BNM}$=$\widehat{BND}$

$\Rightarrow$$\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$=$\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow$B LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG MD DO B,M CỐ ĐỊNH

$\Rightarrow$D CỐ ĐỊNH

$\Rightarrow$NK LUN ĐI QUA ĐIỂM D CỐ ĐỊNH

C) XÉT TỨ GIÁC HKBM CÓ $\widehat{HKB}$=$\widehat{HMB}$=`90`⁰

$\Rightarrow$TỨ GIÁC HKBM NỘI TIẾP

$\Rightarrow$`AH.AM`=`AK.AB`

TƯƠNG TỰ TA CÓ `BH.BN`=`BK.AB`

$\Rightarrow$`AH.AM`+`BH.BN`=`AK.AB`+`BK.AB`=`AB(AK+BK)`

=`AB²`

Do `AB` KO ĐỔI TÊN NÊN `AH.AM`+`BH.BN` KHÔNG THAY DỔI

D)CMTT THEO CÂU B TA CÓ $\widehat{NMH}$=$\widehat{IMH}$

$\Rightarrow$`MH` LÀ PHÂN GIÁC TRONG TẠI M CỦA

Tam giác `MNI`

$\Rightarrow$$\dfrac{IH}{NH}$=$\dfrac{IN}{MN}$(THAO TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC)

$\Rightarrow$$\dfrac{BI}{BN}$=$\dfrac{IM}{MN}$(TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC)

$\Rightarrow$$\dfrac{IH}{NH}$(=$\dfrac{IM}{MN}$)

$\Rightarrow$`IH.BN`=`NH.IB`

Hc tốt nha chủ tus

`a)` Xét đường tròn `(O)` đường kính `AB` có

 \(\widehat{ANB}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

`=> AM ⊥ MB`

`BN ⊥ AN`

`AM ⊥ BC`

`BC ⊥ AC`

Xét `ΔABC` có `2` đường cao `AM, BN` cắt nhau tại `H`

`=> H` là trực tâm `ΔABC`

`=> CH ⊥ AB`

Mà `HK ⊥ AB` (gt)

`=> CH ≡ HK` hay `C, H, K` thẳng hàng

`b)` Gọi giao điểm của `NK` với đường tròn `(O)` là `D`

`ΔCNM ~ ΔCBA` (c.g.c)

=> \(\widehat{CNM}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

`ΔANK ~ ΔABC` (c.g.c)

=> \(\widehat{ANK}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

`=>` \(\widehat{CNM}=\widehat{ANK}\) => \(90^o-\widehat{CNM}=90^o-\widehat{ANK}\) => \(\widehat{BNM}=\widehat{BND}\)

Xét đường tròn (O) có \(\widehat{BNM}=\widehat{BND}\) => \(\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{BD}\) => B là điểm chính giữa cung MD

Do `B, M` cố định

`=> D` cố định

`=> NK` luôn đi qua điểm `D` cố định

c) Xét tứ giác HKBM có \(\widehat{HKB}=\widehat{HMB}=90^o\) => Tứ giác HKBM nội tiếp

`=> AH.AM = AK.AB`

Tương tự ta có `BH.BN = BK.AB`

=> AH.AM + BH.BN = AK.AB + BK.AB = AB(AK + BK) = AB²

Do AB không đổi nên AH.AM + BH.BN không đổi

`d)`  \(\widehat{NMH}=\widehat{IMH}\) 

`=> MH` là phân giác trong tại `M` `ΔMNI`

`=>` \(\dfrac{IH}{NH}=\dfrac{IM}{MN}\) (tính chất đường phân giác)

AM ⊥ MB (cmt) => MB là phân giác ngoài tại M của tam giác MNI

`=>` \(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{IM}{MN}\) (tính chất đường phân giác)

`=>` \(\dfrac{IH}{NH}=\dfrac{IB}{BN}\left(=\dfrac{IM}{MN}\right)\) 

`=> IH.BN = NH.IB`