Giải thích các bước giải:

a )

Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :

`BK` cạnh chung

`BI` = `BA` ( gt )

`hat{ABK}` = `hat{IBK}` ( `BK` là phân giác `hat{B}` )

`⇒` `ΔABK` = `ΔIBK` `( c.g.c )`

b )

Ta có :

`ΔABK` = `ΔIBK` `( cmt )`

`⇒` `hat{BAK}` = `hat{BIK}` ( 2 góc tương ứng )

Mà : `hat{BAK}` = `90^o`

`⇒` `hat{BIK}` = `90^o` `⇔` `KI⊥BC`

c )

Ta có :

`AH⊥BC` ( gt )

`KI⊥BC` ( cmt )

`⇒` `AH` // `KI` ( tiên đề Ơ-cơ-lít )

`⇒` `hat{HAI}` = `hat{KIA}` ( do 2 góc này ở vị trí so le trong ) ( 1 )

Ta có :

`AK` = `IK` ( `ΔABK` = `ΔIBK` `( cmt )` )

`⇒` `ΔAKI` cân tại `K`

`⇒` `hat{KAI}` = `hat{KIA}` ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có :

`hat{HAI}` = `hat{KIA}`

`hat{KAI}` = `hat{KIA}`

`⇒` `hat{HAI}` = `hat{KAI}` `↔` `AI` là phân giác `hat{HAC}`

d )

Giải thích các bước giải:

a )

Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :

`BK` cạnh chung

`BI` = `BA` ( gt )

`hat{ABK}` = `hat{IBK}` ( `BK` là phân giác `hat{B}` )

`⇒` `ΔABK` = `ΔIBK` `( c.g.c )`

b )

Ta có :

`ΔABK` = `ΔIBK` `( cmt )`

`⇒` `hat{BAK}` = `hat{BIK}` ( 2 góc tương ứng )

Mà : `hat{BAK}` = `90^o`

`⇒` `hat{BIK}` = `90^o` `⇔` `KI⊥BC`

c )

Ta có :

`AH⊥BC` ( gt )

`KI⊥BC` ( cmt )

`⇒` `AH` // `KI` ( tiên đề Ơ-cơ-lít )

`⇒` `hat{HAI}` = `hat{KIA}` ( do 2 góc này ở vị trí so le trong ) ( 1 )

Ta có :

`AK` = `IK` ( `ΔABK` = `ΔIBK` `( cmt )` )

`⇒` `ΔAKI` cân tại `K`

`⇒` `hat{KAI}` = `hat{KIA}` ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có :

`hat{HAI}` = `hat{KIA}`

`hat{KAI}` = `hat{KIA}`

`⇒` `hat{HAI}` = `hat{KAI}` `↔` `AI` là phân giác `hat{HAC}`

d )

- Gọi `D` là giao điểm `EK` và `AI` ta có :

Xét `ΔKDA` và `ΔKDI` ta có :

`KD` cạnh chung

`AK` = `IK` ( `ΔABK` = `ΔIBK` `( cmt )` )

`hat{KAD}` = `hat{KID}` ( `ΔAKI` cân tại `A` )

`⇒` `ΔKDA` = `ΔKDI` `(c.g.c)` `↔` `hat{DKA}` = `hat{DKI}` ( 2 góc tương ứng ) (3 )

Ta có :

`EA` // `KI` ( `E∈AH` )

`⇒` `hat{DKI}` = `hat{DEA}` (so le trong ) (4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta có :

`hat{DKA}` = `hat{DKI}` ( cmt )

`hat{DKI}` = `hat{DEA}` ( cmt )

`⇒` `hat{DKA}` = `hat{DEA}` `↔` `ΔAEK` cân tại `A`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)BK$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta IBK$

$BK:$ chung

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ BA=BI\\ \Rightarrow \Delta ABK = \Delta IBK (c.g.c)\\ b)\Delta ABK = \Delta IBK \\ \Rightarrow \widehat{KAB}=\widehat{KIB}\\ \Rightarrow \widehat{KIB}=90^\circ\\ \Rightarrow KI \perp BC\\ c)KI \perp BC\\ AH \perp BC\\ \Rightarrow KI // AH$

$\Rightarrow \widehat{K_1}=\widehat{A_1}$ (so le trong) $(1)$

$\Delta ABK = \Delta IBK$

$\Rightarrow AK=IK$

$\Rightarrow \Delta KAI$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{A_2} (2)$

$(1)(2) \Rightarrow \widehat{A_1}= \widehat{A_2} $

$\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{HAC}$

$d)\Delta BAI, BA=BI$

$\Rightarrow \Delta BAI$ cân tại $B$

$\Delta BAI$ cân tại $B$ có $BK$ là phân giác

$\Rightarrow BK$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow BK \perp AI$

Hay $EF \perp AI$

$AI$ là phân giác $\widehat{HAC} \Rightarrow  AI$ là phân giác $\widehat{EAK}$

$\Delta AEK$ có $AI$ vừa là đường cao vừa là phân giác 

$\Rightarrow \Delta AEK$ cân tại $A.$