Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABC` và `ΔAED` có:

`\hat{ABC}=\hat{AED}=90^0` (`ΔABC` vuông tại `B; DE⊥AC`)

`AC=AD` (gt)

`\hat{DAC}`: góc chung 

`=> ΔABC=ΔAED` (cạnh huyền - góc nhọn)

b) `ΔABC=ΔAED` (cmt)

`=> AB=AE` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔABE` cân tại `A`

c) `ΔABC` vuông tại `B`

`=> AB^2+BC^2=AC^2` (định lý pytago)

mà `AB=6cm; AC=10cm`

`=> 6^2+BC^2=10^2`

`=> BC^2=64 => BC=8cm` (vì `BC>0`)

`ΔABM` vuông tại `B (ΔABC` vuông tại `B; M∈BC)`

`=> AB^2+BM^2=AM^2` (định lý pytago)

mà `AB=6cm; AM=7cm`

`=> 6^2+BM^2=7^2`

`=> BM^2=13 => BM=\sqrt{13} cm` (vì `BM>0)`

Ta có: `BM+MC=BC`

`=> MC=BC-BM=8-\sqrt{13} cm`

d) Xét `ΔABI` và `ΔAEI` có:

`AB=AE; AM`: chung; `IB=IE` (`I` là trung điểm của `BE`)

`=> ΔABI=ΔAEI` (c.c.c)

`=> \hat{BAI}=\hat{EAI}` (2 góc tương ứng)

`=> AI` là tia phân giác của `\hat{BAE}`   (1)

Xét `ΔABM` và `ΔAEM` có:

`\hat{ABM}=\hat{AEM}=90^0 `

`AB=AE` (cmt)

`AM`: cạnh chung

`=> ΔABM=ΔAEM` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=> \hat{BAM}=\hat{EAM}` (2 góc tương ứng)

`=> AM` là tia phân giác của `\hat{BAE}`    (2)

Từ (1) và (2) `=> A, M, I` thẳng hàng.