Giải thích các bước giải:

a,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - m.\left( {4m - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} + m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
 - 3{m^2} - m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
3{m^2} + m - 1 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}
\end{array} \right.
\end{array}\)

b,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

\(ac < 0 \Leftrightarrow m\left( {4m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}\)

c,

Với điều kiện ở phần a, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{4m - 1}}{m}
\end{array} \right.\)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2m - 2}}{m} > 0\\
\frac{{4m - 1}}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{1}{4}\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\)

Kệt hợp các điều kiện ta được: \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} < m < 0\)

d,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} < 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2m - 2}}{m} < 0\\
\frac{{4m - 1}}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < m < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{1}{4}\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{4} < m < 1\)

Kết hợp điều kiện có nghiệm ta được: \(\frac{1}{4} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\)