Giải thích các bước giải:

 a)Xét ΔAFH và ΔADB

Có: $\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90^{\circ}$

 $\widehat{A}$ là góc chung

⇒ΔAFH~ΔADB (g-g)

b)Xét ΔBFH và ΔCHE

Có: $\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90^{\circ}$

  $\widehat{FHB}=\widehat{EHC}$ (đối đỉnh)

⇒ΔBFH~ΔCHE (g-g)

⇒$\frac{BF}{HF}=\frac{CH}{CE}$

⇒$BF·CE=HF·CH$

c)Xét ΔAEB và ΔAFC

Có: $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^{\circ}$

  $\widehat{A}$ là góc chung

⇒ΔAEB~ΔAFC (g-g)

⇒$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$

Xét ΔAEF và ΔABC

Có: $\widehat{A}$ là góc chung

$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$

⇒ΔAEF~ΔABC

d)ΔCHK có CI và HI là đường cao nên I là trực tâm

⇒KI là đường cao thứ ba ⇒ KI⊥HC (1)

Lại có: CH⊥AB (2)

Từ (1) và (2)⇒ AB//KI hay BG//KI

ΔBGC có KI//BG mà IB=IC

nên KG=KC hay K là trung điểm của CG

Do MN//CG nên theo định lí Talex ta có: 

$\frac{MH}{GK}=\frac{AH}{AK}=\frac{HN}{KC}$

⇒$\frac{MH}{HN}=\frac{GK}{KC}=1$

⇒MH=HN