a, 

Tứ giác MAOB nội tiếp vì $\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90+90=180^o$

=> A, M, B, O cùng thuộc 1 đường tròn. 

b, 

MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên MA=MB, $\widehat{AMO}=\widehat{BMO}$

$\Delta$ AMB cân tại M có MH phân giác nên cũng là đường cao.

=> $MH \bot AB$

K là trung điểm PN nên $ OK \bot PN$

=> $\widehat{OKM}=90^o$

K, A, B cùng nhìn OM dưới góc vuông nên A, K, O, B, M nằm trên 1 đường tròn đường kính OM.

=> Tứ giác AKBM nội tiếp.

Theo tính chất cung chứa góc:

$\widehat{AKM}=\widehat{ABM}$

$\widehat{MKB}=\widehat{MAB}$

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{MAB}$ ($\Delta$ MAB cân M) nên $\widehat{AKM}=\widehat{MKB}$

=> KM phân giác $\widehat{AKB}$ 

c, 

$\Delta$ ANM và $\Delta$ PAM có:

$\widehat{AMP}$ chung

$\widehat{NAM}=\widehat{APN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây chung, góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

=> $\Delta$ ANM $\backsim$ $\Delta$ PAM (g.g)

=> $\frac{MA}{MN}=\frac{MP}{MA}$

$\Leftrightarrow MP.MN=MA^2$ 

$\Delta$ AOM vuông tại A, $AH \bot OM$ có $AM^2= MH.MO$

Vậy $MA^2= MP.MN= MH.MO$ 

$\Delta$ OBM vuông tại B, $BH \bot OM$ có $OB^2= R^2= OH.OM$ (đpcm)

d, (chưa ra)