Đáp án:

Bài 1:

a) A là trọng tâm của $\triangle CDE$

b) CA đi qua trung điểm của DE

Bài 2:

a) $AM\bot BC$

b) $AM=30cm, BN=CP=3\sqrt{89}cm$

Giải thích các bước giải:

Bài 1:

a)

Ta có: $AE=2AB$ (gt)

$\to BE=AB+AE=3AB\\\to AB=\dfrac{1}{3}BE\to AE=\dfrac{2}{3}EB$

Mà B là trung điểm của DC (gt)

$\to$ EB là đường trung tuyến

Xét $\triangle CDE$:

$AE=\dfrac{2}{3}EB$ (cmt)

EB là đường trung tuyến (cmt)

$\to$ A là trọng tâm của $\triangle CDE$

b)

Ta có: A là trọng tâm của $\triangle CDE$ (cmt)

$\to$ CA là đường trung tuyến

$\to$ CA đi qua trung điểm của DE

Bài 2:

a)

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle AMC$:

$AB=AC$($\triangle ABC$ cân tại A)

$AM$: chung

$MB=MC$ (gt)

$\to\triangle AMB=\triangle AMC$ (c.c.c)

$\to\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\\\to AM\bot BC$

b)

Ta có: $MB=MC=\dfrac{1}{2}BC=16(cm)$

$\triangle AMB$ vuông tại M:

$AM^2+MB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AM=\sqrt{AB^2-MB^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30(cm)$

Vì 3 đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G (gt)

$\to$ G là trọng tâm của $\triangle ABC$

$\to GM=\dfrac{1}{3}AM=10(cm)$

$\triangle BGM$ vuông tại M:

$GM^2+MB^2=GB^2$ (định lý Pytago)

$\to GB=\sqrt{GM^2+MB^2}=\sqrt{10^2+16^2}=2\sqrt{89}(cm)$

$GB=\dfrac{2}{3}BN$ (G là trọng tâm, BN là đường trung tuyến)

$\to BN=\dfrac{3}{2}GB=\dfrac{3}{2}.2\sqrt{89}=3\sqrt{89}(cm)$

$\triangle ABC$ cân tại A (gt)

$\to AB=AC$ (2 cạnh bên)

$\to AP=PB=AN=NC$

Xét $\triangle ABN$ và $\triangle ACP$:

$AB=AC$ (cmt)

$\widehat{BAC}$: chung

$AN=AP$ (cmt)

$\to\triangle ABN=\triangle ACP$ (c.g.c)

$\to BN=CP$ (2 cạnh tương ứng)

$\to CP=3\sqrt{89}(cm)$