Đáp án:

a) $\triangle AHM=\triangle KCM$

b) $AC//HK$

c) AN đi qua trung điểm của BH

d) $\triangle ABC=\triangle HNK$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle KCM$:

$MH=MC$ (gt)

$\widehat{AMH}=\widehat{KMC}$ (đối đỉnh)

$MA=MK$ (gt)

$\to\triangle AHM=\triangle KCM$ (c.g.c)

$\to AH=KC$ (2 cạnh tương ứng)

b)

Xét $\triangle AMC$ và $\triangle KMH$:

$MA=MK$ (gt)

$\widehat{AMC}=\widehat{KMH}$ (đối đỉnh)

$MC=MH$ (gt)

$\to\triangle AMC=\triangle KMH$ (c.g.c)

$\to AC=KH$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{MCA}=\widehat{MHK}$ (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to AC//HK$

c)

$\triangle AHM=\triangle KCM$ (cmt)

$\to\widehat{HAM}=\widehat{CKM}$ (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to AH//CK$

$\to BN//AH$

Ta có: $AH\bot BC$ (gt)

$\to BN\bot BC$

Gọi giao điểm của AN và BH là I

Xét $\triangle AHI$ và $\triangle NBI$:

$\widehat{AHI}=\widehat{NBI}\,\,\,(=90^o)$

$BN=AH\,\,\,(=CK)$

$\widehat{HAI}=\widehat{BNI}$ (so le trong)

$\to\triangle AHI=\triangle NBI$ (cgv - gn)

$\to AI=NI$ (2 cạnh tương ứng)

$\to HI=BI$ (2 cạnh tương ứng)

$\to$ I là trung điểm của BH

$\to$ AN đi qua trung điểm của BH

d)

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle NHI$:

$AI=NI$ (cmt)

$\widehat{AIB}=\widehat{NIH}$ (đối đỉnh)

$BI=HI$ (cmt)

$\to\triangle ABI=\triangle NHI$ (c.g.c)

$\to AB=NH$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{ABI}=\widehat{NHI}$ (2 góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{NHI}+\widehat{NHK}+\widehat{MHK}=180^o$ (kề bù)

$\widehat{ABI}+\widehat{MCA}+\widehat{BAC}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Mà $\widehat{ABI}=\widehat{NHI}, \widehat{MHK}=\widehat{MCA}$ (cmt)

$\to\widehat{NHK}=\widehat{BAC}$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HNK$:

$AB=HN$ (cmt)

$\widehat{BAC}=\widehat{NHK}$ (cmt)

$AC=HK$ (cmt)

$\to\triangle ABC=\triangle HNK$ (c.g.c)