Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) `\triangleABD` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính nên vuông tại `D`

`=>\hat{ADB}=90^0`

`=>\hat{ADM}=90^0`

Tượng tự ta cũng được: `\hat{AEM}=90^0`

`OD////O'E` `(`cùng `\botDE)`

`=>\hat{O_{1}}+\hat{O'_{1}}=180^0` `(`trong cùng phía bù nhau`)`

`\triangleAOD` cân tại `O,\triangleAO'E` cân tại `O'` nên:

`\hat{A_{1}}+\hat{A_{2}}=(180^0-\hat{O_{1}})/2+(180^0-\hat{O'_{1}})/2`

                 `=(360^0-(\hat{O_{1}}+\hat{O'_{1}}))/2`

                 `=(180^0)/2=90^0`

`=>\hat{DAE}=90^0`

Tứ giác `ADME` có: `\hat{ADM}=90^0,\hat{AEM}=90^0,\hat{DAE}=90^0` nên là hình chữ nhật

`=>\hat{DME}=90^0` `(đpcm)`

b) Gọi `I` là giao điểm các đường chéo của hình chữ nhật `ADME`

`=>\hat{A_{3}}=\hat{D_{2}}` `(1)`

`\triangleAOD` cân tại `O`

`=>\hat{A_{1}}=\hat{D_{1}}` `(2)`

Cộng `(1)` và `(2)` vế theo vế ta được:

`\hat{A_{1}}+\hat{A_{3}}=\hat{D_{1}}+\hat{D_{2}}=90^0`

`=>MA\botOO'`

`=>MA` là tiếp tuyến chung của đường tròn `(O)` và `(O')` `(đpcm)`

c) `\triangleAMB` vuông tại `A` có `AD\botMB`

`=>AD^2=MD.MB` `(`Hệ thức lượng`)` `(3)`

`\triangleAMC` vuông tại `A` có `AE\botMC`

`=>AD^2=ME.MC` `(`Hệ thức lượng`)` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `MD.MB=ME.MC` `(đpcm)`