`a)``MH`//$OC$`=>MH`//$OE$

 Xét $∆AMH$ có $MH$//$OE$

`=>{AE}/{AH}={AO}/{AM}` (định lý Talet)

Vì `MK`//`OB=>MK`//$O F$

Xét $∆AMK$ có $O F$//$MK$

`=>{A F}/{AK}={AO}/{AM}` (định lý Talet)

`=>{AE}/{AH}={A F}/{AK}`

`=>E F`//$HK$ (định lý Talet đảo)

$\\$

`b)` Xét $∆BCE$ có:

`M` là trung điểm $BC$ (do `AM` là trung tuyến $∆ABC$)

`MH`//$CE$

`=>H` là trung điểm `BE`

`=>HB=EH`

$\\$

Xét $∆BCF$ có:

`M` là trung điểm $BC$ (do `AM` là trung tuyến $∆ABC$)

`MK`//$BF$

`=>K` là trung điểm `CF`

`=>KC=FK`

$\\$

Xét $∆AMH$ có $OE$//$MH$

`=>{AM}/{OM}={AH}/{EH}` (định lý Talet)

`=>{AM}/{OM}={AH}/{HB}` `(1)` (vì $EH=HB)$

$\\$

Xét $∆AMK$ có $O F$//$MK$

`=>{AM}/{OM}={AK}/{FK}` (định lý Talet)

`=>{AM}/{OM}={AK}/{KC}` $(2)$ (vì $KC=FK)$

Từ `(1);(2)=>{AH}/{HB}={AK}/{KC}`

`=>HK`//$BC$ (định lý Talet đảo)

Mà $E F$//$HK$ (câu a)

`=>E F`//$BC$ (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `MH //// OE`

`-> (AE)/(AH)=(AO)/(AM)` (định lý Thales)

`MK //// OF`

`-> (AF)/(AK)=(AO)/(AM)`

`-> (AE)/(AH)=(AF)/(AK)`

`-> EF //// HK` (định lý Thales đảo)

`b,`

Xét `\triangle EBC` có:

`MH //// EC`

`M` là trung điểm của `BC`

`-> H` là trung điểm của `BE`

`-> BH=EH`

Tương tự: `KC=KF`

`MH //// OE`

`-> (AM)/(OM)=(AH)/(EH)` (định lý Thales)

`-> (AM)/(OM)=(AH)/(HB)`

Tương tự: `(AM)/(OM)=(AK)/(KC)`

`-> (AH)/(HB)=(AK)/(KC)`

`-> HK //// BC` (định lý Thales đảo)

`-> EF //// BC` (từ `\bot` đến `////`)