Đáp án:

a) Xét ΔNMI và ΔNAI có:

+ góc NIM = góc NIA = 90 độ

+ NI chung

+ góc MNI = góc ANI 

=>ΔNMI = ΔNAI (g-c-g)

b) Do ΔNMI = ΔNAI nên NM = NA

Xét ΔNMH và ΔNAH có:

+ NM = NA
+ góc MNH = góc ANH 

+ NH chung

=>ΔNMH = ΔNAH (c-g-c)

=> góc NMH = góc NAH = 90 độ

=> HA ⊥ NK

c) MH = 4cm; HK = 7cm

=> MK = 11cm

Theo t.c đường phân giác:

$\begin{array}{l}
\frac{{MN}}{{MH}} = \frac{{NK}}{{HK}} = \frac{{MN}}{4} = \frac{{NK}}{7}\\
 \Rightarrow MN = \frac{4}{7}NK\\
Theo\,Pytago:M{N^2} + M{K^2} = N{K^2}\\
 \Rightarrow \frac{{16}}{{49}}N{K^2} + {11^2} = N{K^2}\\
 \Rightarrow 121 = \frac{{33}}{{49}}N{K^2}\\
 \Rightarrow N{K^2} = \frac{{539}}{3}\\
 \Rightarrow NK = 13,4\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow MN = \frac{4}{7}.13,4 = 7,66\left( {cm} \right) = NA\\
 \Rightarrow AK = NK - NA = 5,74\left( {cm} \right)
\end{array}$

d) góc K = 30 độ

=> góc MNK = 60 độ

=> ΔMNA cân tại N có 1 góc 60 độ

=> ΔMNA đều

=> góc NMA = 60 độ

=> góc AMK = 30 độ

=> ΔAMK cân tại A