Đáp án:

\(\left( d \right):\left[ \begin{array}{l}
y =  - \frac{{16}}{{63}}x - \frac{{52}}{{21}}\\
y =  - \frac{4}{3}x + 4
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

Gọi phương trình (d) có dạng tổng quát y=ax+b

Do (d) đi qua K(6;-4)

\( \to  - 4 = 6a + b(1)\)

Gọi \(A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) là giao của (d) cắt Ox

Gọi \(B\left( {0;b} \right)\) là giao của (d) cắt Oy

Do (d) cắt O một khoảng bằng \(\frac{{12}}{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\begin{array}{l}
B\left( {0;b} \right)\\
{\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{b}{a}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\\
 \to \frac{{25}}{{144}} = \frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2}}}\\
 \to 25{b^2} = 144{a^2} + 144\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hpt

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
25{b^2} = 144{a^2} + 144\\
6a + b =  - 4
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
b =  - 6a - 4\\
25\left( {36{a^2} + 48a + 16} \right) = 144{a^2} + 144
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
b =  - 6a - 4\\
756{a^2} + 1200a + 256 = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
a =  - \frac{{16}}{{63}}\\
a =  - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
b =  - \frac{{52}}{{21}}\\
b = 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \to \left( d \right):\left[ \begin{array}{l}
y =  - \frac{{16}}{{63}}x - \frac{{52}}{{21}}\\
y =  - \frac{4}{3}x + 4
\end{array} \right.\)