Đáp án:

a) Ta có góc HAB + góc B = 90 độ

+ góc C + góc B = 90 độ

=> góc HAB = góc C hay góc HAB = góc HCA

Xét ΔABH và ΔCAH có:

+ góc BAH = góc ACH 

+ góc AHB = góc CHA = 90 độ

=>ΔABH ~ ΔCAH (g-g)

b) Do ΔABH ~ ΔCAH

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\\
 \Rightarrow A{H^2} = BH.CH
\end{array}$

c) BH = 4; BC = 12

=> CH = 8cm

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow A{H^2} = 4.8 = 32\\
 \Rightarrow AH = 4\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .12 = 24\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$

d)

Do M,N là trung điểm của BH; AH

=> MN là đường trung bình của tg BAH

=> MN// AB

mà AB vuông góc với AC

=> MN vuông góc AC tại E

Lại có AH vuông góc MC

=> 2 đường cao ME, AH cắt nhau tại N

=> CN là đường cao thứ 3

=> CN⊥ AH