Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to AC\perp CK, AB\perp BK$

Mà $BH\perp AC, CH\perp AB$

$\to BH//CK, BK//CH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

b.Ta có:

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}(=90^o), \widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^o$

$\to BCEF, BFHD$ nội tiếp

$\to\widehat{EFC}=\widehat{CBE}=\widehat{HBD}=\widehat{HFD}=\widehat{CFD}$

$\to FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

Vì $\Delta EBC$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BC$

$\to ME=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to\Delta MBE$ cân tại $M$

$\to\widehat{EMC}=2\widehat{EBM}=2\widehat{CBE}=2\widehat{EFC}=\widehat{EFD}$

$\to EFDM$ nội tiếp

c.Kẻ $At$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O), At$ nằm khác phía với điểm $B$ qua đường thẳng $AC$

Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{tAC}=\widehat{ABC}=\widehat{FBC}=\widehat{AEF}$

$\to At//EF$

Mà $OA\perp At\to OA\perp EF$

Tương tự $OB\perp DF, OC\perp DE$

Ta có:

$S_{ABC}=S_{OEAF}+S_{OFBD}+S_{ODCE}$

$\to S_{ABC}=\dfrac12OA\cdot EF+\dfrac12OB\cdot DF+\dfrac12OC\cdot ED$

$\to S_{ABC}=\dfrac12R\cdot EF+\dfrac12R\cdot DF+\dfrac12R\cdot DE$

$\to S_{ABC}=\dfrac12R(DE+EF+DF)$

$\to\dfrac12AD\cdot BC=\dfrac12R(DE+EF+DF)$

$\to\dfrac12AD\cdot a=\dfrac12R(DE+EF+DF)$

$\to AD\cdot a=R(DE+EF+DF)$

$\to DE+EF+DF=\dfrac{AD\cdot a}{R}$

Kẻ $OG\perp AD\to OGDM$ là hình chữ nhật

$\to DG=OM$

$\to AD=AG+GD=AG+OM\le OA+OM=R+OM=R+\sqrt{OB^2-BM^2}=R+\sqrt{R^2-\dfrac14a^2}$

$\to DE+EF+DF\le \dfrac{(R+\sqrt{R^2-\dfrac14a^2})\cdot a}R$

Dấu = xảy ra khi $OA=AG\to A$ nằm giữa cung $BC$ (lớn)

Chú ý: Diện tích tứ giác có $2$ đường chéo vuông góc bằng $\dfrac12$ tích hai đường chéo