Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\bullet$ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có:

`a^2 + bc >= 2sqrt{a^2. bc}` 

`b^2 + ac >= 2sqrt{b^2. ac}`

`c^2 + ab >= 2sqrt{c^2. ab}` 

Cộng các vế với nhau, ta được:

`a^2 + bc + b^2 + ac + c^2 + ab >= 2sqrt{a^2. bc} + 2sqrt{b^2. ac} + 2sqrt{c^2. ab}`

`<=> 1/(a^2 + bc) + 1/(b^2 + ac) + 1/(c^2 + ab) <= 1/(2asqrt{bc}) + 1/(2bsqrt{ac}) + 1/(2csqrt{ab})`

`<=> 1/(a^2 + bc) + 1/(b^2 + ac) + 1/(c^2 + ab) <= (sqrt{bc})/(2abc) + (sqrt{ac})/(2abc) + (sqrt{ab})/(2abc)`

`<=> 1/(a^2 + bc) + 1/(b^2 + ac) + 1/(c^2 + ab) <= (sqrt{bc} + sqrt{ac} + sqrt{ab})/(2abc)` `(1)`

$\bullet$ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có:

`a + b >= 2sqrt{ab}`

`b + c >= 2sqrt{bc}`

`a + c >= 2sqrt{ac}`

Cộng các vế với nhau, ta được:

`a + b + b + c + a + c >= 2sqrt{ab} + 2sqrt{bc} + 2sqrt{ac}`

`<=> 2(a + b + c) >= 2(sqrt{ab} + sqrt{bc} + sqrt{ac})`

`<=> a + b + c >= sqrt{ab} + sqrt{bc} + sqrt{ac}`

`<=> sqrt{ab} + sqrt{bc} + sqrt{ac} <= a + b + c` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> 1/(a^2 + bc) + 1/(b^2 + ac) + 1/(c^2 + ab) <= (a + b + c)/(2abc)`