a)Ta xét trong tam giác ABH có H^H^=90 độ 
=>BAH+ABH =90 độ
mà BAH+HAC=90độ =A(gt)
=>ABH=HAC
Xét tam giác BHA và Tam giác AIC có:
AB=AC(gt)
H^=AIC=90độ(gt)
ABH=HAC(c/m trên)
=>Tam giác BHA=Tam giác AIC(cạnh huyền-góc nhọn)
=>BH=AI(hai cạnh tương ứng)
b)Vì Tam giác BHA=Tam giác AIC(c/m trên)
=>IC=AH(hai cạnh tương ứng)
Xét trong tam giác vuông ABH có:
BH2+AH2=AB2
mà IC=AH
=>BH2+IC2=AB2(th này là D nằm giữa B và M)
Ta có thể c/m tiếp rằng D nằm giữa M và C thì ta vẫn c/m được Tam giác BHA=Tam giác AIC(cạnh huyền-góc nhọn) và BH2+IC2=AC2=AB2
=>BH2+CI2 có giá trị ko đổi
c)Ta xét trong tam giác DAC có IC,AM là 2 đường cao và cắt nhau tại N(AM cũng là đường cao do là trung tuyến của tam giác cân xuất phát từ đỉnh và cũng chính là đường cao của đỉnh đó xuống cạnh đáy=>AM vuông góc với DC)
=>DN chính là đường cao còn lại=>DN vuông góc với AC(là cạnh đối diện đỉnh đó)
d)Ta dễ dàng tính được Tam giác DMN cân tại M=>DM=MN(dựa vào số đo của các góc và 1 số c/m trên)
Từ M kẻ đường thẳng ME vuông góc với AD còn MF vuông góc với IC,Ta dễ dàng c/m được tam giác MED=Tam giác MFN(cạnh huyền-góc nhọn)
=>ME=MF(là hai đường vuông góc tại điểm M gióng xuống hai cạnh của góc HIC)
Theo tính chất của đường phân giác(Điểm nằm trên đường phân giác của góc này thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó)=>IM là tia phân giác của HIC

Giải thích các bước giải:

`a)`

 Xét `ΔABH` và `ΔCAI`

Ta có:

`\hat{BAH}` `=` `\hat{ACI}` `=` `90^@` `-` `\hat{IAC}`

`AB=AC`

`\hat{AHB}` `=` `\hat{CIA}` `=` `90^@` 

Nên `ΔABH` `=` `ΔCAI` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`=>` `BH=AI`
`b)`

Ta có:

`BH=AI` (Đã chứng minh tại câu a)

`AD+BH=IC+AI=AB=AC`

`=>` `BH^2` `+` `CI^2` có giá trị không đổi

`c)`

Ta có:

`CI` `⊥` `AD`

`=>` `CI` là đường cao của `ΔACD`

`AM` `⊥` `DC`

`=>` `AM` là đường cao của `ΔACD`

Mà 2 đường cao `CI` và `AM` cắt nhau tại `N`

`=>` `DN` là đường cao thứ 3 của `ΔACD`

Vậy `DN` `⊥` với `AC`