Đáp án:

a) $BC=3\sqrt{5}cm$

b) $\triangle ABD=\triangle AED$

c) $\triangle AMC$ vuông cân tại A

d) $DC=2BD$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}(cm)$

b)

Ta có: E là trung điểm của AC (gt)

$\to AE=EC=\dfrac{1}{2}AC=3(cm)\\\to AB=AE=3(cm)$

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AED$:

$AB=AE$ (cmt)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (gt)

$AD$: chung

$\to\triangle ABD=\triangle AED$ (c.g.c)

$\to BD=ED$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (2 góc tương ứng)

c)

Ta có:

$\widehat{ABD}+\widehat{MBD}=180^o$ (kề bù)

$\widehat{AED}+\widehat{CED}=180^o$ (kề bù)

$\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (cmt)

$\to\widehat{MBD}=\widehat{CED}$

Xét $\triangle MBD$ và $\triangle CED$:

$\widehat{MBD}=\widehat{CED}$ (cmt)

$BD=ED$ (cmt)

$\widehat{MDB}=\widehat{CED}$ (đối đỉnh)

$\to\triangle MBD=\triangle CED$ (g.c.g)

$\to MB=CE$ (2 cạnh tương ứng)

Lại có: $AB=AE$ (cmt)

$\to AB+MB=AE+CE\\\to AM=AC$

Mà $AM\bot AC\,\,\,(AB\bot AC)$

$\to\triangle AMC$ vuông cân tại A

d)

Ta có: $MB=CE$ (cmt)

$\to MB=CE=AE=AB$

$\to$ B là trung điểm của AM

$\to$ CB là đường trung tuyến

E là trung điểm của AC (gt)

$\to$ ME là đường trung tuyến

Xét $\triangle AMC$:

CB là đường trung tuyến (cmt)

ME là đường trung tuyến (cmt)

D là giao điểm của AM và CB $(D\in BC, D\in ME)$

$\to$ D là trọng tâm của $\triangle AMC$

$\to BD=\dfrac{1}{3}BC, DC=\dfrac{2}{3}BC\\\to DC=2BD$