Đáp án:

\[M\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,0} \right)\]

Giải thích các bước giải:

 Trong không gian ta tìm điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a;\,\,2 - b;\,\,3 - c} \right)\\
\overrightarrow {IB}  = \left( {2 - a;\,\,1 - b;\,\, - 7 - c} \right)\\
\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - a} \right) + \left( {2 - a} \right) = 0\\
\left( {2 - b} \right) + \left( {1 - b} \right) = 0\\
\left( {3 - c} \right) + \left( { - 7 - c} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\\
b = \frac{3}{2}\\
c =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\, - 2} \right)\\
\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)} \right|\\
 = \left| {2\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI
\end{array}\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm \(M \in Oxy\) thỏa mãn \(IM\) có độ dài ngắn nhất.

Do đó, \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(Oxy\)

Suy ra \(M\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,0} \right)\)

Vậy \(M\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,0} \right)\)