Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MNK,\Delta QNK$ có:

$\widehat{MNK}=\widehat{QNK}$ vì $NK$ là phân giác $\hat  N$

Chung $NK$

$\widehat{KMN}=\widehat{KQN}(=90^o)$

$\to\Delta MNK=\Delta QNK$(cạnh huyền-góc nhọn)

b.Từ câu a $\to NM=NQ\to\Delta MNQ$ cân tại $N$

Mà $\hat N=60^o$

$\to\Delta MNQ$ đều

Ta có $\Delta MNP$ vuông tại $M, NK$ là phân giác $\hat N$

$\to \widehat{KPN}=\widehat{MPN}=90^o-\widehat{MNP}=30^o=\dfrac12\widehat{MNP}=\widehat{KNP}$

$\to\Delta NKP$ cân tại $K$

c.Ta có $\Delta KNP$ cân tại $K, KQ\perp NP\to Q$ là trung điểm $NP$

$\to NQ=QP=\dfrac12NP$

Vì $\Delta MNQ$ đều

$\to MQ=QN=NM$

$\to MN=\dfrac12NP$

$\to NP=2MN=16, QP=QN=8$ 

b) Nk là tia phân giác của góc N ⇒ góc MNK = góc QNK = 30 độ

Xét ΔMNK vuông tại M và Δ QNK vuông tại Q có:

NK chung

góc MNK = góc QNK (cmt)

⇒ ΔMNK = ΔQNK (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ MN = QN ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔMNQ cân tại N

Có: góc NMP + góc MNP +  góc NPM = 180 độ (định lý tổng 3 góc trong một tam giác)

90 độ  + 60 độ + góc NPM = 180 độ

⇒ góc NPM = 30 độ

⇒ góc NPK = góc KNP 

⇒ ΔNKP cân tại K

c)

Ta có ΔKNP cân tại K, KQ ⊥ NP ⇒ O là trung điểm của NP

⇒ NQ = QP = 1/2 NP

Vì ΔMNQ  đều nên MQ = QN = NM

⇒ MN = 1/2 NP

⇒ NP = 2MN = 16 (cm)

⇒ QP = QN = 8 cm