Đáp án:

a) góc OBA = góc OCA = 90 độ ( AB , AC là tiếp tuyến của (O))

=> Góc OBA + OCA = 180 độ

=> Thứ giác OBAC nội tiếp

b) Xét tam giác OEB và tam giác OBD có

Góc EBA = BDA ( hai góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

Góc DAB (chung)

=> $\frac{EA}{BA}$ = $\frac{BA}{DA}$ = AB² = AE . AD (đpcm)

c) Gọi I là giao điểm của CO và BD

BD // CA và CO vuông góc AC => BD vuông góc CI

Xét tam giác OBD cân tại O có đường cao OI => OI cũng là đường trung trực của đoạn BD

=> CB = CD => $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$= $\mathop{DC}\limits^{\displaystyle\frown}$ => $\widehat{BDC}$ = $\widehat{DBC}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau )

Lại có $\widehat{DEC}$ = $\widehat{DBC}$ => $\widehat{DEC}$ = $\widehat{BDC}$ (3)

Tứ giác CEDB nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{BDC}$ + $\widehat{BEC}$ = 180 độ => $\widehat{BEC}$ = 180 độ - $\widehat{BDC}$ (1)

Mà $\widehat{DEC}$ + $\widehat{CEA}$ = 180 độ => $\widehat{CEA}$ = 180 độ - $\widehat{DEC}$ (2)

Từ (1),(2),(3) => $\widehat{BEC}$ = $\widehat{CEA}$ (đpcm)

d) Gọi H là giao điểm của BC và OA

K là hình chiếu của B lên CA

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác OBA vuông tại B ta có

OB² + AB² = OA² -> AB = $\sqrt[]{OA^2 - OB^2}$ = 2$\sqrt[]{2R}$ 

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OBA vuông tại B, đường cao BH ta có

$\begin{cases} AB^2 = AH . AO\\BH . AO = OB . BA\\ \end{cases}$ => $\begin{cases} AH = \frac{AB^2}{AO}\\BH = \frac{OB . BA}{AO}\\ \end{cases}$ => $\begin{cases} AH = \frac{(2\sqrt[]{2R})^2}{3R} = \frac{8}{3} R\\BH = \frac{R.2\sqrt[]{2R}}{3R} = \frac{2\sqrt[]{2}}{3} R\\ \end{cases}$

Dễ dàng chứng minh BH = CH => BC = 2BH = $\frac{4\sqrt[]{2}}{3}$ R và AC = AB = 2$\sqrt[]{2}$ R

Trong tam giác ABC có

$S_{ΔABC}$ = $\frac{1}{2}$  BC . AH = $\frac{1}{2}$ BK . AC => BK = $\frac{BC . AH}{AC}$ = $\frac{x}{y}$ $\frac{\frac{4\sqrt[]{2}}{3}R . \frac{8}{3}R}{2\sqrt[]{2}R}$ = $\frac{16}{9}$ R

Vậy khoảng cách từ BD đến AC là $\frac{16}{9}$ R