Đáp án: a.$y=3$

             b.$(x-2)^2+(y-1)^2=10$

             c. $(x-4)^2+(y-3)^2=10$

             d.$3x+4y+11=0$ hoặc $3x+4y-29=0$

Giải thích các bước giải:

a.Vì M là trung điểm AB $\to M(0,3)$

$\to$Phương trình đường thẳng đi qua $M(0,3)$ và $C(4,3)$ là : $y=3$

b.Gọi $(d_1)$ là đường trung trực của $AB$

$\to M(0,3)\in (d_1), (d_1)\perp AB\to \vec{n_{d_1}}=\vec{AB}=(-2,-2)$

$\to (d_1): -2(x-0)-2(y-3)=0\to x+y-3=0$

Gọi N là trung điểm AC $\to N(\dfrac52,\dfrac72)$

Ta có $\vec{AC}=(3,-1)$

Tương tự $\to$Phương trình trung trực của đoạn thẳng AC là :
$3(x-\dfrac52)-(y-\dfrac52)=0\to 3x-y-5=0$

$\to$Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là nghiệm của hệ

$\begin{cases}x+y-3=0\\3x-y-5=0\end{cases}$

$\to\begin{cases}x+y=3\\3x-y=5\end{cases}$

$\to\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\to O(2,1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\to $Phương trình $(C_1)$ là : 

$(x-2)^2+(y-1)^2=OA^2=(2-1)^2+(1-4)^2=10$

c.Phương trình đường tròn $(C_2)$ có tâm C(4,3) và đi qua A(1,4) là :
$(x-4)^2+(y-3)^2=AC^2=(4-1)^2+(3-4)^2$

$\to (x-4)^2+(y-3)^2=10$

d.Ta có : $(C): (x+1)^2+(y-3)^2=16$

$\to I(-1,3), R=4$ là tâm và bán kính của (C)

Gọi tiếp tuyến của (C) là (d) vì $(d)\perp \Delta \to (d): 3x+4y+a=0$

$\to d(I,d)=4$

$\to \dfrac{|3.(-1)+4.3+a|}{\sqrt{3^2+4^2}}=4$

$\to |9+a|=20$

$\to a+9=20\to a=11$

Hoặc $a+9=-20\to a=-29$

$\to (d): 3x+4y+11=0$ hoặc $3x+4y-29=0$