Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$

$\Rightarrow D \in (O); BD$ là đường kính

$\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{BCD}=90^\circ\\ \Rightarrow \widehat{BCP}=90^\circ\\ OA=OB$

$PA=PB$(2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow OP$ là trung trực $AB$

$\Rightarrow OP \perp AB$

$\Rightarrow \widehat{BHP}=90^\circ$

$BHCP$ có $H$ và $C$ cùng nhìn $BP$ dưới một góc $90^\circ$

$\Rightarrow BHCP$ nội tiếp

$b)BHCP$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DCH}=\widehat{HBP}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

$\widehat{C_1}=\widehat{B_1}$ (cùng chắn cung $CD$)

$\Rightarrow \widehat{DCH}+\widehat{C_1}=\widehat{HBP}+\widehat{B_1}\\ \Leftrightarrow  \widehat{ACH}=90^\circ\\ \Rightarrow AC \perp CH$

$c)\Rightarrow OP$ là trung trực $AB, OP \cap AB=H$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$

$ACHM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{A_1}$ (cùng chắn cung $CH$)

Mà $\widehat{A_1}= \widehat{CIB}$ (cùng chắn cung $CB$)

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{CIB}$

Mà $\widehat{M_1};\widehat{CIB}$ ở vị trí đồng vị so với $MH$ và $IB$

$\Rightarrow MH//IB$

$\Rightarrow MH//QB$

$\Delta AQB, MH//QB, H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $AQ$

$d)\Delta BCD$ vuông tại $C, \widehat{D}=45^\circ$

$\Rightarrow \Delta BDC$ vuông cân

$\Rightarrow CO$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow CO \perp BD$

$\Delta COD$ vuông tại $O, \widehat{D}=45^\circ$

$\Rightarrow \Delta COD$ vuông cân tại $O$

$S_{COD}=\dfrac{1}{2} CO.DO=\dfrac{R^2}{2}\\ S_{OCmB}=\dfrac{90}{360} \pi R^2=\dfrac{\pi R^2}{4}$

$\Delta PBD$ vuông tại $B, \widehat{D}=45^\circ$

$\Rightarrow \Delta PBD$ vuông cân tại $B$

$S_{PBD}=\dfrac{1}{2}.BP.BD=2R^2$

Diện tích $\Delta PBD$ phần nằm ngoài đường tròn $O:$

$S=S_{PBD}-S_{OCmB}-S_{COD}=\dfrac{(6-\pi)R^2}{4}.$