Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`AA n \in NN^{***}` ta có :

`(x_1p-y_1q)^(2n) \ge 0`

`(x_2p-y_2q)^(2n) \ge 0`

`(x_3p-y_3q)^(2n) \ge 0`

..... 

`(x_mp-y_mq)^(2n) \ge 0` 

Cộng dọc lại ta được : 

$\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}\ +\,.\!.\!.+\ \left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge 0 \ \forall x$
Mà theo đề bài :

$\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}\ +\,.\!.\!.+\ \left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le 0 $

Dấu `=` xảy ra :

$\Leftrightarrow \begin{cases} x_1p - y_1q =0 \\ x_2p-y_2q =0 \\ x_3p-y_3q =0 \\ ... \\ x_mp - y_mq=0 \end{cases}$ 

$\Leftrightarrow \begin{cases} x_1p = y_1q \\ x_2p=y_2q \\ x_3p = y_3q \\ ... \\ x_mp = y_mq \end{cases}$
Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức : 
$\begin{cases} \dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{q}{p} \\ \dfrac{x_2}{y_2} = \dfrac{q}{p} \\ \dfrac{x_3}{y_3}= \dfrac{q}{p} \\ ... \\ \dfrac{x_m}{y_m} = \dfrac{q}{p} \end{cases}$
Suy ra :

`(x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2) = (x_3)/(y_3) = ... (x_m)/(y_m) = q/p`

Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

$\dfrac{x_1+x_2+x_3\ +\,.\!.\!.+\ x_m}{y_1+y_2+y_3\ +\,.\!.\!.+\ y_m}=\dfrac pq$
Vậy ta được điều phải chứng minh.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

`2n` là chẵn `AA n in NN`*

`=> (x_1p-y_1q)^(2n) >= 0`

`=> (x_2p-y_2q)^(2n) >= 0`

`=> (x_3p-y_3q)^(2n) >= 0`

.......

`=> (x_1p-y_1q)^(2n) >= 0`

`=> (x_1p - y_1q)^(2n) + (x_2p-y_2q)^(2n) + (x_3p-y_3q)^(2n) + ... + (x_mp-y_mq)^(2n) >= 0`

 Dấu $"="$ xảy ra khi:

$\Leftrightarrow\begin{cases}(x_1p-y_1q)=0\Rightarrow x_1p= y_1q \Rightarrow \dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{q}{p}\\(x_2p-y_2q)=0\Rightarrow x_2p = y_2q \Rightarrow \dfrac{x_2}{y_2} = \dfrac{q}{p}\\(x_3p-y_3q)=0\Rightarrow x_3p= y_3q \Rightarrow \dfrac{x_3}{y_3} = \dfrac{q}{p}\\.....\\(x_mp-y_mq)=0\Rightarrow x_mp = y_mq \Rightarrow \dfrac{x_m}{y_m} = \dfrac{q}{p} \end{cases}$

Từ đó ta được:

`=> (x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2) = .... = (x_m)/(y_m) = q/p`

`***`Áp dụng tính chất dãy hữu tỉ số bằng nhau ta được:

`(x_1+x_2+x_3+...+x_m)/(y_1+y_2+y_3+...+y_m) = q/p`

`(đpcm)`