Đáp án+Giải thích các bước giải:

Bài 11:

Ta có $\begin{cases} \dfrac{7}{n+9}=\dfrac{7}{7+(n+2)}\\\dfrac{8}{n+10}=\dfrac{8}{8+(n+2)}\\\dfrac{31}{n+33}=\dfrac{31}{31+(n+2)} \end{cases}$

Các phân số đã cho đều có dạng $\dfrac{a}{a+(n+2)}$

Vì các phân số trên tối giản nên $(a;n+2)=1$

⇔ $n+2$ phải nguyên tố cùng với $7;8;9;...;31$ và $n$ nhỏ nhất

⇔ $n+2$ nhỏ nhất

⇔ $n+2$ phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn $31$

⇔ $n+2=37$

⇔ $n=35$

Bài 12:

a) $\dfrac{n+5}{n-2}=\dfrac{n-2+7}{n-2}=1+\dfrac{7}{n-2}$

Để $\dfrac{n+5}{n-2}\in\mathbb{N}$

⇒ $\dfrac{7}{n-2}\in\mathbb{N}$

⇒ $7$ $\vdots$ $n-2$

⇒ $n-2\in$ $\text{{$\pm1;\pm7$}}$

⇒ $n\in$ $\text{{3; 1; 9; -5}}$

Vì $n\in\mathbb{N}$ và $n\ge 3$

⇒ $n\in$ $\text{{3; 1; 9}}$ thì $\dfrac{n+5}{n-2}\in\mathbb{N}$

b) Để $\dfrac{n+5}{n-2}$ tối giản thì $\dfrac{7}{n-2}$ là phân số tối giản

⇒ $n-2$ $\not\vdots$ $7$

⇒ $n-2$ $\not\vdots$ $7k$ $(k\in\mathbb{N}$*$)$

⇒ $n$ $\not\vdots$ $7k+2$ $(k\in\mathbb{N}$*$)$

⇒ $n\ne7k+2$ $(k\in\mathbb{N}$*$)$

Vậy $n\ne7k+2$ thì $\dfrac{n+5}{n-2}$ tối giản