a,

`\triangle ANF` và `\triangle CNB` có :

`hat{ANF}=hat{CNB}` (Đối đỉnh), `BN=NF` (gt), `AN=CN` (gt)

`->\triangle ANF=\triangle CNB` (c.g.c)

`->AF=BC` (2 cạnh tương ứng)

b,

`\triangle AMB` và `\triangle EMC` có :

`hat{AMB}=hat{EMC}` (Đối đỉnh), `BM=CM` (gt), `MA=ME` (gt)

`->\triangle AMB=\triangle EMC` (c.g.c)

`->hat{MBA}=hat{MCE}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`->` $CE//AB$

c,

`\triangle ANB` và `\triangke CNF` có :

`hat{ANB}=hat{CNF}` (Đối đỉnh), `AN=CN` (gt), `BN=FN` (gt)

`->\triangle ANB=\triangle CNF` (c.g.c)

`->hat{NAB}=hat{NCF}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`->` $CF//AB$ mà $AB//CE$ (cmt)

`-> F,C,E` thẳng hàng `(1)`

Lại có `\triangle ANB=\triangle CNF` (cmt)

`-> CF=AB` (2 cạnh tương ứng)

Lại có `\triangle AMB=\triangle EMC` (cmt)

`->AB=CE` (2 cạnh tương ứng)

`->CF=CE (2)`

`(1)(2)-> C` là trung điểm của `EF`

d,

`BE\bot EC->hat{BEC}=90^o`

`\triangle ABC` và `\triangle ECB` có :

`AB=CE` (cmt), `hat{ABC}=hat{ECB}` ($AB//CE$), `BC` chung

`->\triangle ABC=\triangle ECB` (c.g.c)

`->hat{BAC}=hat{CEB}` (2 góc tương ứng) mà `hat{BEC}=90^o` (cmt)

`->hat{BAC}=90^o`

`->\triangle ABC` vuông tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông tại `A` để `BE\bot EC`

`a)`

Xét `\triangleANF` và `\triangleCNB` có:

`AN = NC` `(N` là trung điểm `AC)`

`\hat{ANF} = \hat{CNB}` `(2` góc đối đỉnh `)`

`BN = NF` $(gt)$

`-> \triangleANF = \triangleCNB` `(c. g. c)`

`-> AF = BC` `(2` cạnh tương ứng `)`

`b)` 

Xét `\triangleAMB` và `\triangleEMC` có:

`BM = MC` `(M` là trung điểm `BC)`

`\hat{AMB} = \hat{EMC}` `(2` góc đối đỉnh `)`

`AM = ME` $(gt)$

`-> \triangleAMB = \triangleEMC` `(c. g. c)`

`-> \hat{ABM} = \hat{MCE}` `(2` góc tương ứng `)`

mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

`=> EC //// AB`

`c)` 

Ta có: `\triangleAMB = \triangleEMC` `(cmt)`

`-> AB = CE` `(2` cạnh tương ứng `)`

Xét `\triangleANB` và `\triangleCNF` có:

`AN = NC` `(N` là trung điểm `AC)`

`\hat{ANB} = \hat{CNF}` `(2` góc đối đỉnh `)`

`BN = NF` $(gt)$

`-> \triangleANB = \triangleCNF` `(c. g. c)`

`-> AB = CF` `(2` cạnh tương ứng `)`

mà: `AB = CE` `(cmt)`

`-> CF = CE` `(` cùng `= AB )`

Ta có: `\hat{ABN} = \hat{NFC}` `(\triangleANB = \triangleCNF - cmt )`

mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

`-> AB //// CF` 

mà: `AB //// EC` `(cmt)`

`-> E, C, F` thẳng hàng `(` Tiên đề Ơ cơ lít `)`

lại có: `CE = CF` `(cmt)`

`=> C` là trung điểm `EF`

`d)` 

Ta có: `AB //// CE` `(cmt)`

`-> \hat{ABC} = \hat{BCE}` `(2` góc so le trong `)`

Xét `\triangleABC` và `\triangleECB` có:

`AB = CE` `(cmt)`

`\hat{ABC} = \hat{BCE}` `(cmt)`

`BC` chung

`-> \triangleABC = \triangleECB` `(c. g. c)`

`-> \hat{BAC} = \hat{BEC}` `(2` góc tương ứng `)`

`BE ⊥ EC` tại `E` `<=> \hat{BEC} = 90^0`

`<=> \hat{BAC} = 90^0`

`<=> AB ⊥ AC` tại `A`

`<=> \triangleABC` vuông tại `A`