Bổ sung đề : `a,b,c,d,e\in NN^**`

Không mất tính tổng quát giả sử `a\ne b`

$\bullet$ `a<b`

Mà `a^b = b^c = c^d = d^3 = e^a`

`-> a^b > e^a` (Do `b>a`)

`->a>e`

Tương tự : `b>c, d>c, d>e, a>b`

Điều này vô lí với giả thiết.

`->` Không tồn tại `a<b` (1)

$\bullet$ `a>b`

`-> a^b < e^a` (Do `a>b`)

`-> a< e` 

Do đó : `b<c, d<c, d<e, a<b`

Điều này cũng vô lí với giả thiết

`->` Không tồn tại `a>b` (2)

(1)(2) Ta khẳng định chỉ có thể tồn tại `a=b`

Thật vậy từ giả thiết suy ra `a=b=c=d=e` (Đpcm)

Nhắc lại kiến thức: Hai lũy thừa bằng nhau nếu lũy thừa thứ `1` có cơ số lớn hơn lũy thừa thứ `2` thì số mũ của lũy thừa thứ 1 phải bé hơn số mũ của lũy thừa thứ `2` và ngược lại. (ĐK: các số đó cùng là số tự nhiên)

Bổ sung: `a;b;c;d;e in NN`*

 Giả sử `a \ne b`

`***``TH1:` `a < b`

Mà `a^b = b^c` có `a < b => b > c` 

Mà `b^c = c^d` có `c < b => c < d`

Mà `c^d = d^e` có `c < d => e < d`

Mà `d^e = e^a` có `e < d => e < a`

Mà `e^a = a^b` có `e < a => a > b `

Ta lại có `a < b =>` vô lý 

`***``TH2:` `a > b`

Tương tự ta có: 

`a > b; b < c; d < c; e < d; e > a => a < b` `=>` (vô lý) 

`=>` Cả `2` trường hợp tồn tại của giả thiết `a;b;c;d;e in NN`* đều loại

`=> a = b = c = d = e`