`1)` `Ax; MC` là tiếp tuyến của `(O)`

`=>∆MAO` vuông tại `A; ∆MCO` vuông tại `C`

Gọi `I` là trung điểm của `MO`

`=>AI` là trung tuyến $∆MAO$ vuông tại $A$

`=>AI=MI=OI=1/2 MO` (*)

`\qquad CI` là trung tuyến $∆MCO$ vuông tại `C`

`=>CI=1/2 MO` (**)

Từ (*);(**)`=>AI=MI=CI=OI=1/2 MO`

`=>A;M;C;O` cùng thuộc đường tròn tâm `I` đường kính $MO$ (đpcm)

_____

Cách khác theo tứ giác nội tiếp:

Vì `Ax; MC` lần lượt là là tiếp tuyến của `(O)` `(A;C` là tiếp điểm)

`=>\hat{MAO}=90°; \hat{MCO}=90°`

Xét tứ giác `AMCO` có:

`\hat{MAO}+\hat{MCO}=90°+90°=180°`

Vì `\hat{MAO};\hat{MCO}` ở vị trí đối nhau

`=>AMCO` là tứ giác nội tiếp 

`=>A;M;C;O` cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

$\\$

`2)` `MA;MC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `M` (`A;C` là hai tiếp điểm)

`=>MA=MC`

Vì `OA=OC=R`

`=>MO` là đường trung trực của `AC`

Mà $H$ là giao điểm của `AC` và `MO` (gt)

`=>MO`$\perp AC$ tại $H$

`=>CH`$\perp MO$ 

Áp dụng hệ thức lượng vào $∆MCO$ vuông tại `C` có $CH\perp MO$

`=>OH.OM=OC^2`

`=>OH.OM=R^2` (đpcm)

$\\$

`3)` Ta có:

`OB=OC=R`

`=>∆OBC` cân tại `O`

Vì `K` là trung điểm $BC$ (gt)

`=>OK` vừa là trung tuyến và phân giác `∆OBC`

`=>\hat{BON}=\hat{CON}`

Xét $∆BON$ và $∆CON$ có:

`\qquad ON` là cạnh chung 

`\qquad \hat{BON}=\hat{CON}`

`\qquad OB=OC=R`

`=>∆BON=∆CON` (c-g-c)

`=>\hat{NBO}=\hat{NCO}=90°`

`=>BN`$\perp OB$

`=>BN` là tiếp tuyến tại `B` của `(O)` (đpcm)