Ta sẽ chứng minh BĐT Svac-xơ (BĐT Cộng mẫu)

Cho `m,n>0` và `a,b\in RR`

Theo BĐT Svac-xơ luôn có : `a^2/m + b^2/n >= (a+b)^2/(m+n)`

`<=> (a^2n + b^2m)/(mn)>= (a+b)^2/(m+n)`

`<=>(a^2n + b^2m)(m+n)>= (a+b)^2 . mn`

`<=>a^2mn + a^2n^2 + b^2m^2 + b^2mn >= (a^2+2ab+b^2) mn`

`<=>a^2mn +a^2n^2 + b^2m^2 + b^2mn >= a^2mn + 2abmn + b^2mn`

`<=> a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2>=0`

`<=>(an - bm)^2>=0` (Luôn đúng)

Dấu "`=`" xảy ra khi : `an=bm <=>a/m=b/n`

Mở rộng ra vẫn chứng minh tương tự :

Cho `a_1,a_2,...,a_n\in RR` và `b_1,b_2,...,b_n>0`

`(a_1)^2/(b_1) + (a_2)^2/(b_2)+...+ (a_n)^2/(b_n)>= (a_1+a_2+...+a_n)^2/(b_1+b_2+...+b_n)`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a_1/b_1=a_2/b_2=...=a_n/b_n`

Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz.

Với `a,b\in RR` và `m,n\in RR`

Theo BĐT Cauchy-Schwarz luôn có :

`(a^2+b^2)(m^2+n^2)>= (am+bn)^2`

`<=>a^2m^2 +a^2n^2 +b^2m^2 +b^2n^2>= a^2m^2+2abmn + b^2n^2`

`<=> a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2>=0`

`<=>(an - bm)^2>=0` (Luôn đúng)

Dấu "`=`" xảy ra khi : `an=bm<=>a/m=b/n`

Mở rộng ta vẫn chứng minh tương tự với :

`a_1,a_2,...,a_n\in RR` và `b_1,b_2,...,b_n\in RR` luôn có :

`(a_1^2 + a_2^2 + ... +a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... +b_n^2)>= (a_1b_1+ a_2b_2+...+a_nb_n)^2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a_1/b_1=a_2/b_2=..=a_n/b_n`