Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `triangleABC` vuông tại `A` có: 

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` $(gt)$

`=>AM=(BC)/2=10/2=5(cm);AM=MB=MC`

Áp dụng định lí `Pytago` cho `triangleABC` vuông tại `A` được:

`BC^2=AB^2+AC^2`

`=>10^2=AB^2+AC^2`

Mà `AB=AC` `(triangleABC` vuông cân tại `A)=>AB^2=AC^2`

`=>100=2.AB^2`

`=>AB^2=50`

`=>AB=AC=\sqrt{50}`

Ta có: `S_{triangleABC}=1/2 .AB.AC=1/2 . \sqrt{50} .\sqrt{50}=25(cm^2) `

Vậy `AM=5cm;S_{triangleABC}=25cm^2`

$\\$

 `b)` Vì `triangleABC` vuông cân tại `A`

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^{o}`

Vì `AM=MC` $(cmt)$

`=>triangleAMC` cân tại `M` 

`=>\hat{MAC}=\hat{BCA}=45^{o}`

`=>\hat{AMC}=90^{o}`

`=>AM\botBC`

Xét `triangleABC` cân tại `A` có:

`AM` là đường trung tuyến $(gt)$

`AM` là đường cao `(AM\botBC)`

`=>AM` đồng thời là đường phân giác của `\hat{BAC}`

Xét tứ giác `AEMF` có:

`\hat{MEA}=90^{o}` `(E` là hình chiếu của `M` trên `AB)` 

`\hat{MFA}=90^{o}` `(F` là hình chiếu của `M` trên `AC)` 

`\hat{EAF}=90^{o}` `(triangleABC` vuông cân tại `A)`

`=>AEMF` là hình chữ nhật.

Mà `AM` là đường phân giác của `\hat{BAC}` $(cmt)$

`=>AEMF` là hình vuông.

$\\$

 `c)` Xét tứ giác `ABDC` có:

`AM=MD` `(D` đối xứng với `A` qua `M)`

`BM=MC` `(AM` là đường trung tuyến của `triangleABC)`

`=>ABDC` là hình bình hành.

Mà `AD\botBC`  `(AM\botBC)`

`=>ABDC` là hình thoi.

Lại có: `\hat{BAC}=90^{o}` `(triangleABC` vuông cân tại `A)`

`=>ABDC` là hình vuông. 

Giải thích các bước giải:

a)

`+)` Có: `ΔABC` vuông tại `A` `(gt)`

mà `AM` là đường trung tuyến của `ΔABC` `(gt)`

`⇒` `AM` `=` $\frac{1}{2}$ `BC` (định lý)

mà `BC` `=` `10` `cm` `(gt)`

`⇒` `AM` `=` $\frac{1}{2}$ `×` `10` `=` `5 cm`

b) 

`+)` Có `F` là hình chiếu của `M` trên `AC` `(gt)`

`⇒` `FM` `⊥` `AC` `(đn)` `(1)`

`+)` Có `ΔABC` vuông tại `A` `(gt)`

`⇒` $\widehat{BAC}$ `=` $90^o$

`⇒` `BA` `⊥` `AC` `(t/c)` `(2)`

`+)` Từ `(1)` và `(2)` `⇒` `FM` $\parallel$ `AB` `(t/c)`

`+)` Xét `ΔABC` có:

                     `M` là trung điểm của `BC` ( `AM` là đường trung tuyến của `ΔABC`, `gt`)

                      `FM` $\parallel$ `AB` `(cmt)`

`⇒` `F` là trung điểm của `AC` `(đl)` (3)

 `+)` Có:`E` là hình chiếu của `M` trên `AB` `(gt)`

`⇒` `ME` `⊥` `AB` (đn)

mà `AB` `⊥` `AC` (cmt)

`⇒` `ME` $\parallel$ `AC` (t/c)

`+)` Xét `ΔABC` có:

                   `M` là trung điểm của `BC` ( `AM` là đường trung tuyến của `ΔABC`, gt)

                   `ME` $\parallel$ `AC` (cmt)

`⇒` `E` là trung điểm của `AB` (đl) `(4)`

`+)` Có `ΔABC` vuông cân tại `A` (gt)

`⇒` `AB` `=` `AC` `(t/c)` `(5)`

`+)` Từ `(3)`, `(4)`, `(5)` `⇒` `CF` `=` `AF` `=` `AE` `=` `EB` 

`+)` Xét tứ giác `AEMF` có:

          $\widehat{FAE}$ = $90^o$ ($\widehat{BAC}$ = $90^o$ , cmt)

          $\widehat{MFA}$ = $90^o$ (`MF` `⊥` `AC`, cmt)

          $\widehat{MEA}$ = $90^o$ (`ME` `⊥` `AB`, cmt)

`⇒` Tứ giác `AEMF` là hình chữ nhật `(dhnb)`

mà `AF` `=` `AE` `(cmt)`

`⇒` Tứ giác `AEMF` là hình vuông `(dhnb)`

c) Mình ko làm dc sorry nha :3